Тема 6: «Алгорифми Маркова»

Підстановки Маркова

Алгорифм Маркова представляє собою деякі правила по перебудові слів у відповідному алфавіті і результатом роботи алг. Маркова є слова деякого алфавіту.

Алфавітом називається будь-яка непуста множина, її елементи назив. буквами алфавіту, а будь-яка послідовність букв - словами даного алф.

Слова, що не містять жодної букви назив. пустими і познач. А.

Якщо А і В - 2 алфавіти, при чому А с під , В (А _ В), то алф. В назив.

розширеним алф. А.

Слова в алф. познач, латинськими буквами Р, О., К, або цими ж буквами з індексами.

Одне слово може склад, частину іншого, тоді перше слово є підсловом другого.

Підстановкою Маркова назив. операція над словами, що задається впорядкованими парами слів Р і О, зміст якої полягає в наступному:

В заданому слові В знаходиться перше входження, якщо воно є. Не змінюючи його частин, замінюємо це входження словом Ц. Отримане слово назив. підстановкою М. (Р, Ц) до слова Р. Якщо входження Р у слово К не існує, то вваж., що підстановку М. (Р, О) до слова К застосувати не можна.

Частковими випадками у підстановках М. є підстановки з пустими словами:

функція (А, 6-) б-функція;

функція (А, А) функція;

функція (ція, А) функ;

функція (в.Т, І_К) застосувати неможливо.

Для позначення підстановки М. (Р, О) використ. запис: Р->Ц

Деякі підстановки назив. кінцевими, або заключними: Р->.0.

Дані підстановки - формули кінцевої підстановки. Слово Р - ліва частина, слово О - права.

Поняття нормального алгорифму М.

Впорядкований скінченний список підстановок: Р_х -> (.)(?! ; Р₂ ■■■ 1^}г (■)^{в ал}Ф-

А назив. схемою або записом нормального алгорифму в алф. А.

Дана схема детермінує алг. перетворення слів, що назив. нормальним алгоритмом М. Нормальним алг. М в алф. А назив. наступне правило побудови послідовності слів V, в алф. А, виходячи з заданого слова V в цьому ж алфавіті.

В якості початкового слова 1/₀ послідовності береться слово V.

Нехай для деякого і>0, слово І/, побудовано і процес побудови, що розглядається ще не закінченій. Якщо при цьому в схемі нормального алг. немає формул ліві частини якої входили у 1/„ то 1/_|+1 = і/і і процес побудови послідовності вважають завершеним.

Якщо в схемі є формула з лівими частинами, які входять у І/,, то в якості |/₁₊₁ береться результат підстановки М. правої частини першої з таких формул замість першого входження її лівої частини в слово V

Процес побудови послідовності вваж, завершеним , якщо на даному кроці була застосована формула кінцевої підстановки і таким, що продовжується у протилежному випадку.

Якщо процес побудови послідовності 1/,, і=1, 2 ... т обривається, то говорять, що нормальний алг., який розглядається, можна застосувати до слова V. Говорять, що нормальний алгоритм перероблює слово V у \/\/. Послідовність 1/, будемо записувати наступним чином: 1/₀ => V, => ІЛ =>... Ц_п. К₀= V; У„,= \А<

Якщо алг. заданий у деякому алф. А, то говорять, що він є нормальним алг. на А

Приклад 1:

А={а₀, «і ... «„}

а„ -» А

^Л Даний алгорифм М. переробляє будь-яке слово в пусте слово а_п А

3.Нормально обчислювальні ф-ції. Принцип нормалізації Маркова. як і машина Тьюринга, норм. алг. не проводить власні обчислення. Нормальний алг. перебудовує слова, замінюючи одні букви іншими по предписаним їм правилам.

В свою чергу ми регламентуємо їм такі правила, результати яких можна інтерпретувати як обчислення.

Ф-ція Г, яка задана на деякій множині слів алф. А назив. нормально обчислювальною ф- єю, якщо знайдеться таке розширення В даного алф. (А . В, В?0) і такий нормальний алг. в алф. В, що кожне слово V в алф. А з областю визначення ф-ції і цей алг. перероблює в слово «V).

! Нормальний алг. побудований в тому самому алф. А, тобто не потребує розширювати алф. А.

А. А. Марков висунув гіпотезу, яка отримала назву «принцип нормалізації Маркова». Згідно з цим принципом для знаходження значень ф-ції, яка задана в деякому алф., тоді і тільки тоді існує алг., коли ф-ція є нормально обчислюваною, так як і теза Черча, теза Тьюринга, принцип нормалізації Маркова не може бути доведений з матем. точки зору.

Теорема 1: Ф-ція, що є обчислювальною за Тьюрингом, є також нормально обч.

Теорема 2: Ф-ція, що є нормально обч. є також обчисл. за Тьюрингом.

Такі самі теореми сформовані для частково-рекурсивної ф-ції

Теорема 3: наступні класи ф-цій, що задані в натуральних числах, і що приймають натуральні значення: а) клас ф-ції обч. за Тьюрингом; б) клас всіх частково-рекурсивних ф-цій; в) клас всіх нормально обч. ф-цій.