Тема 4: «Частково-рекурсивна функція»

1. Примітивно-рекурсивна функція.

2. Частково-рекурсивна функція.

3. Теза Черча.

   1. Розглянемо функцію 5(х), що задається правилом 5(х)+1 для всіх х. Функція 5(х) є обчислювальною функцією, так як існує алгоритм, що складається з простої дії. Функція 5(х) називається функцією слідування.

   2. Розглянемо унарну функцію (залежну від аргументів) 0^П (х_ь х₂, ..., х_п) = 0 для всіх натуральних (х_ь х₂, ..., х_п). Дана функція називається нульовою функцією. Очевидно, що функція п від (х_ь х₂, ..., х„) є обчислювальною функцією. Унарну функцію при п = 1 позначимо через О(х) = 0. Для всіх нульових функцій при п = 0 позначається 0" і ототожнюється з числом 0.

   3. Функція проектування. Нехай п > 1, 1 < т < п. Функція проектування І"_п (х_х, х₂, ..., х_п) = х_т. Тобто дана функція рядку аргументу сгіівставляє її компоненту х_т з номером т. Обчислювальна функція проектування забезпечує можливості знайти в рядку (х_ь х₂, ..., х_п) місце з номером т і вказати число, що розміщено на даному місці. Висновок: функція слідування, нульова та функція проектування є обчислювальними

функціями.

Для доповнення розглянутого набору обчислювальних функцій розглянемо способи побудови нових обчислювальних функцій на ба і в , е к нуючих.

Оператор суперпозиції. Розглянемо дію, яку назвемо оператором суперпозиції (оператор регулювання). За допомогою даної дії з деяких функцій (Н, §₂, §_т) створюється нова функція і. Позначимо нову функцію як ї(х_ь х₂, ..., х_п). Позначимо нову функцію !(х_ь х ..., х„) як Ь(е_ь §₂, ..., §_т), §₂(хх, х₂, ..., х_п), §т(хі, х₂, ...,х_п).

Функція і є частковою функцією від п змінних, її значення визначене, годі і тільки годі, коли визначені всі значення її правої частини. Якщо функція (Н, §_ь §₂, ..., §„) є обчислювальною функцією, то функція \ є також обчислювальною. Алгоритм її обчислення визначається правою частиною вище зазначеної рівності. У випадку існування і, ми за скінченну кількість кроків, отримаємо число ї(х_ь х₂, ..., х_п) за допомогою дій, що відповідають інтуїтивному представленню алгоритму.

Оператор примітивної рекурсіі. Розглянемо дію (оператор), який назвемо оператором примітивної рекурсії. За допомогою деякого оператору ми будемо конструювати функцію ї від п+1 - змінної, від деяких частин функції Н, При цьому функція § має п змінних, функція Н - п+2 змінні. Значення нової функції "Г будемо обчислювати за двома правилами:

1. ^(Хь х₂, ..., Х_п, 0) = §(Х:, Х₂, ..., Х_п).

2. Цх_и х₂, ..., х_п, у+1) = Ь (х_1; х₂, ..., х_п, у, ї(х_ь х_?, .... х_;!, у)).

Слово рекурсія (від латинського «повторення») означає обчислення значення функції ґ(х_1; х₂, ..., х_п, у+1) за допомогою {(хі, х₂, ..., х„, у). Зауваження: як і у випадку оператора суперпозиції, обчислюваність початкових функцій § і Ь випливає на побудованих з цих функцій

Функція ( називається примітивно-рекурсивною, якщо вона може бути отримана з базових функцій слідування, нульової функції функції проектування за допомогою скінченного числа застосування операторів суперпозиції та примітивної рекурсії. Дане ^визначення можна представити у вигляді 3 правил:

1. Базові функції 5(х) = х+1, тобто функції слідування, функція 0(х_;, х₂, ..., х_п) = 0 та функція проектування /", (х_ь х₂, ..., х_п) = х_гп є примітивно-рекурсивними.

2. Якщо функція Є отримана з примітивно-рекурсивної функції за допомогою оператора суперпозиції або нрі • іп у о і ;;ску>сі'і, 'і о функція і - примітивно- рекурсивна.

3. Те, що функція ( - є примітивно-рекурсивною встановлюється декількома застосуваннями правил (1 і 2). ^

Висновок 1: для будь-якої примітивно-рекурсивної функції можна визначити'число п, тобто найменше № кроку, на якому функція мо'же бути отримана.

Висновок 2: є можливість проводити доведення різних тверджено для примітивно- рекурсивної функції методом індукції по кроку, по якому функція буде отримана.

Операція введення-виведення фіктивних змінних. Нехай функція ((хі, х_2; ..., х_п) - примітивно-рекурсивна. Для функції проектування очевидні п-рівнянь.

1\ ^{+ 1} (^х1/ ^х2/-" < Х_п) = Хі І2⁺¹ (Хі, ^х2, ..., х_п) = Х₂ Іп ' ' (^ХЬ Х₂, ■■■, Х_п) = Х_п

Нехай функція Ґ(х) від т+1 змінної за правилом І' (^хь ^х2, •■■/ х_п, х_п+1) = /"⁺¹ (х_ь х₂, ■■■, х„), /" ^{+ 1}

(^х1, ^х2/ •••/ Хп), Іп ^{+ 1} (^ХЬ ^х2/ Хп) = ї(х_ь Х₂, ..., Х„).

Так як функція (- примітивно рекурсивна, то нова функція Г' - примітивно-рекурсивна. В подальшому ми будемо вводити фіктивну змінну із примітивною рекурсією від п-змінних, отримаємо фіктивну змінну від п+1 змінних. При проведенні операції введення фіктивної змінної, ми замість Ґ (нової функції) будемо використовувати позначення ( як і для старої функції.

Частково-рекурсивні функції. Теза Черча.

Нехай задана функція §(хі, х₂, ..., х_п, у) від т+1 -змінної п> 0. Нам необхідно знайти число (у) за умовою, що §(хі, х₂, ..., х_л, у) = 0. Введемо наступне обмеження: процедура заходження числа у повинна бути алгоритмом, тому повинен бути представлений точний список дій для неінтелектуального виконавця (машини) по знаходженню у. Наприклад, це може бути перевірка рівностей: §(хі, х₂, ..., х_п, 0) = 0 В(хі, х_2; ..., х_п, 1) = 0 §(х_ь х₂, х_п, у) = 0

Можливо такою числа у з умовою §(х , / .... х,., у) = 0 не існує. Тоді зупинка машини з виводом значення у не відбудеться, однак причина відсутності виводу числа у може бути іншою. Нехай для числа 5 рівність §(хі, х₂, ..., х_п, 5) = 0 виконується, а для значення у = 2 функція @(х_ь х₂, ..., х_п, 2) невизначена.

Намагаючись обчислити значення §(х_ь х₂, ..., х_п, 2) машина буде працювати нескінченно довго і ніколи не перейде до обчислення функції §(х_ь х₂, ..., 3). Тому число 5 не буде визначено. ^

Оператор мінімізації. Нехай § - функція від т+1-змінної. Будемо говорити, що функція ( від п змінних, отримана від оператора мінімізації, якщо рівність §(х_ьх₂, ..., х_п, у) = 0 вірна, а значення §(х_ь х₂, ..., х_П; 0), §(х_ь х₂, ..., х_п, 1), §(х_ь х₂, ..., х_п, у+1) визначені і не дорівнюють 0.

Якщо функція ( отримана з функції § за допомогою оператору мінімізації, то записують: Г = М(б).

Висновок: зрозуміло, що інструкція для обчислення функції § і перевірка інструкції виконання мінімізації виконує алгоритм для обчислень значень функції тому ї є обчислювальною функцією. Функція ї називається частково рекурсивною, якщо вона може бути отримана з наступних функцій:

1. Слідування;

2. Нульової:

3. Функції проектування шляхом застосування скінченного числа операторів суперпозиції, примітивної рекурсії та мінімізації.

Зауваження: при визначенні поняття обчислювальної функції ми відмічали, що це нестроге, з математичної точки зору, поняття. Дане поняття є інтуїтивним, однак для приведеного вище означення частково рек/рсивної функції справедливе твердження: поняття частково рекурсивної функції є строго математичним. В подальшому термін частково рекурсивної функції ми будемо заміняти рекурсивною функцією.

Теорема: будь-яка частково рекурсивна функція є обчислювальною функцією. Доведення проводиться по кроку т, на якому отримана функція Позначимо через А множину усіх обчислювальних функцій, а чере ІЗ множину частково рекурсивних функцій. Згідно з теоремою, ми можемо сказати, що А є гіідмножиною В.

В першій половині XX століття на величезній кількості прикладів було встановлено, що обчислювальна функція є частково рекурсивною функцією. Це наводило на думку, що різниця множин А і В є пустою множиною. Тобто ці множини збігаються.

1936 року американський математик Алонсо Черч висунув твердження «Теза Черча»: кожна обчислювальна функція є частково рекурсивною функцією.

Зауваження 1: постає питання, чи є можливість довести тезу Черча. Відповідь: ні, так як ми не маємо точного визначення обчислювальної функції. Теза Черча - це строге, з математичної точки зору, визначення алгоритму. Дане твердження є угодою, що виникла в результаті дослідження протягом тривалого проміжку часу інтуїтивного поняття алгоритму. Доведена рекурсивність великого числа рекурсивних функцій. Ще ніхто не зміг побудувати нескінченну функцію, рекурсивність якої можна було б довести, або хоча б побудувати метод побудови такої функції. Теза Черча є природно-науковим фактом, накопиченого математикою за весь період її розвитку.

Зауваження 2: Теза Черча є достатнім засобом для того, щоб надати необхідну точність у формулюванні алгоритмічних проблем і дає можливість довести, що строго їх не розрішитись.