Тема 3: «Конструктивні об'єкти»

1. Поняття конструктивного об'єкта.

2. Злічені множини та їх властивості.

3. Алгоритми й функції.

Поняття конструктивного об'єкта

Для того, щоб вірно зрозуміти поняття алгоритму, необхідно дати відповідь на наступне запитання: які об'єкти поступають на вхід алгоритму, які об'єкти створюються в процесі обчислень (в результаті роботи алгоритму)? Відповідь наступна: вхідними та проміжними даними а також результатом алгоритмічного процесу є конструктивні об'єкти. Поняття конструктивного об'єкта є первинним поняттям і не визначається в теорії алгоритмів. Пояснення цього поняття дамо на відповідних прикладах:

1. Алфавіт. Найпростішим прикладом конструктивних об'єктів є слова в деякому алфавіті А = {а, Ь, с, ...}. Елементи алфавіту називають буквами, а послідовність букв - словами. Кількість букв у слові називають довжиною слова. Довжина слова - натуральне число. Розглядається також пусте слово - слово нульової довжини.

2. Алгоритм додавання натуральних чисел перетворює конструктивні об'єкти (слова) в алфавіті А = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9, +}. Можна також розглянути інші конструктивні об'єкти: натуральні числа, що записані в будь-якій системі числення, слова у природній мові тощо.

3. Прямокутна матриця може бути представлена у вигляді одного рядка:

А = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]. Даний приклад є демонстрацією загального правила: конструктивні об'єкти при відповідному записі можуть бути представлені словами в деякому скінченому алфавіті.

Приклад неконструктивного об'єкта: дійсне число, що є нескінченним десятковим дробом.

Злічені множини (Счетньїе множества)

Множина - це збірка (сукупність) певних і різних об'єктів нашої інтуїції чи інтелекту, що розглядається як єдине ціле. А = (х | Р(х)}. Якщо елемент х належить множині А, то пишуть х€А або АЕ-х. В іншому випадку - хЄА, х£А, А£х. Кількість елементів скінченної множини позначають як ІМ(А). Множину можна також задати переліком її елементів (А = {х_ь Хг, ..., х,,}), але цей спосіб не завжди придатний. Множину можна задати шляхом вказівки Р властивостей її елементів. Р називають формою від X. Якщо для деякого А твердження Р(А) істинне, то А є елементом даної множини. Вводиться поняття порожньої множини, яка позначається як З і не містить жодного елемента. Дві множини А і В рівні (тотожні), коли кожний елемент множини А є елементом множини В. Множину А, всі елементи якої належать множині В, називають підмножиною множини В. Множина А і множина В мають однакову потужність (або рівнопотужні), якщо існує взаємнооднозначне відображення, яке називають бієкцією множини А у множину В ({: А—В). Якщо множина А рівнопотужна множині В, то множина В рівнопотужна множині А (А В). Якщо навпаки - А/В. Множина А - злічена, якщо вона рівнопотужна множині натуральних чисел. В цьому випадку існує бієкція N в А (І: І\І—А). Існує бієкція і елемент А з умовою Ї(М)=А можна позначити через А(ІМ). Таким чином справедливе твердження: множина А зліченою множиною тоді і тільки тоді, коли її елементи можна представити у вигляді наступної нескінченної послідовності без повторень. Властивості злічених множин:

1. Підмножина зліченої множини є зліченою множиною.

2. Об'єднання скінченого (або зліченого) числа скінчених (або злічених) множин є скінченною (або зліченою) множиною.

3. Множина дійсних чисел не є зліченою множиною.

4. Множина !М, що складається з всіх рядків довільної довжини Г\І_0, хг-ІМ є зліченою множиною.

5. Нехай А - скінчений алфавіт, х - множина всіх слів в алфавіті А. Тоді множина х є зліченою множиною.

Нехай М - нескінченна множина конструктивних об'єктів, що є множиною вхідних об'єктів деякого алгоритму. Множину М можна розглядати як множину слів у деякому алфавіті. Згідно пункту 5 властивостей злічених множин, множина М є зліченою множиною.

Алгоритми і функції

Частковою унарною функцією (, що задана N називають, як правило, яка належить деякому набору даних N (х, х₁₍ х_п) ставить у відповідність однозначне число і (х, х_ь х_г.) є N. Множина х, що складається з усіх наборів х_ь х₂, х_п для яких існує значення функції, називається областю визначення функції області ї і називають Оот(ї). Множини всіх значень ( називають множиною значень і і називають Кеп(ї).

Назвемо функцію ( скрізь визначеною, якщо її значення визначені при будь-якому наборі елементів п. При т = 0 будемо розглядати скрі ь визначену обернену функцію т, що немає аргументів, тоді значення ( не можуть змінюватися і дорівнювати А. В цьому випадку ї - функція виділення числа А, ототожнюється з числом А. ^(хі, х₂, х_п) - обчислювальна функція, якщо існує алгоритм, що обчислює функцію

Поняття алгоритму, що обчислює функцію і.

1. Якщо до вхідного алгоритму А поступає набір аргументів (х_ь х₂, х_п) з обчислювальним визначенням функції і¹, то алгоритм Зупиняється і видає результат ((хі, х₂, х_п).

2. Якщо на вхід до алгоритму поступає набір, що не є областю визначення функції (, то обчислення проводяться нескінченно, або зупиняється без визначення результату. Висновок:

   1. Визначення обчислювальної функції базується на понятті алгоритму , що не є чітким поняттям і не має строгого визначення.

   2. Поняття обчислювальної функції є інтуїтивним поняттям і не має математичного строгого визначення.