Граничные условия для векторов магнитного поля
Для точек, лежащих на поверхности раздела двух сред с различными значениями , уравнения (3.1) и (3.2) при предельном переходе приводят к граничным условиям. Применим закон полного тока (2.1) к контуру элементарного прямоугольника (аналогичного изображенному на рис. 1.3), у которого основание — бесконечно малая первого порядка, высота—бесконечно малая второго порядка, а площадь, следовательно, бесконечно малая третьего порядка. Циркуляция вектора Н сведется к сумме двух слагаемых:
,
а полный ток, равный произведению средней плотности тока (конечной величины) на площадь прямоугольника,— к нулю. Таким образом, искомое граничное условие получается в виде
.
Если же применить закон непрерывности магнитного потока (3.2) к поверхности элементарной призмы (аналогичной изображенной на рис. 1.2), у которой площадь боковых граней бесконечно мала по сравнению с площадью оснований, то нетрудно получить граничное условие для нормальных составляющих вёкторов В1n и В2n:
В2n-В1n = 0
Таким образом, в магнитном поле постоянных токов непрерывны, тангенциальные составляющие векторов Н и нормальные составляющие векторов В. Разумеется, Н и В на границе сред с разными меняются скачком, чем и обусловлено преломление магнитных линий.
Вектор-потенциал магнитного поля
Пуcть
сформулирована следующая задача
требуется рассчитать магнитное поле в
однородной среде (),
если задано распределение плотности
тока
,
иначе
говоря, требуется решить систему
уравнений '
если плотность тока задана в виде произвольной функции координат.
Введем новую векторную функцию А =А (х, у, z), позволяющую исключить неизвестные векторы В и Н из уравнений (3.16) и получить взамен их дифференциальное уравнение, решение которого известно.
Такой подстановкой являетcя уравнение
удовлетворяющее требованию div B=0, так как дивергенция ротора тождественно равна нулю. Теперь можно исключить H из первого уравнения (3.16): _
Учитывая,
что
= сопst;
и что
получаем
В
полученном уравнении можно произвольно
задаться значением
, не нарушая уравнения.
Действительно, если изменять величину дивергенции вектора, то будет меняться только величина потенциальной составляющей этого вектора, ротор от которой равен нулю. В рассматриваемом случае проще всего принять
В
результате получается векторное
уравнение Пуассона
,
а для точек, где
= 0 —векторное уравнение Лапласа
.
Каждое из этих векторных уравнений распадается на три скалярных уравнения:
Таким образом, определив А из уравнений (3.22) можно определить магнитную индукцию дифференцированием
и напряжённость
Векторная функция a, с помощью которой решена поставленная задача, называется векторным потенциалом магнитного поля
Если среда состоит из различных кусочно-однородных (в магнитном отношении областей” то решение системы (3.22) имеет свои особенности, поскольку в этом случае каждая область описывается своим вектор-потенциалом, который надо находить из уравнения Лапласа (если в области нет токов) либо из уравнения Пуассона. Отдельные решения должны удовлетворять граничным условиям (3.14 ) и (3.15).
Заметим, что граничное условие (3. 14) В1n=B2n удовлетворяется, если A1t=A2t. (это требование достаточное, но не необходнмое). Действительно, нормальная составляющая вектора В есть одновременно нормальная составляющая ротора А. Но из структуры дифференциального оператора rot A следует, что его нормальная к поверхности S составляющая определяется изменением вдоль этой поверхности касательных составляющих вектора А. Поэтому, если эти составляющие будут непрерывны, то непрерывны будут также нормальные составляющие rot A и B. В дальнейшем предполагается непрерывность тангенциальных составляющих вектор - потенциала.