13. Математическое моделирование.

Специфика задач моделирования:

1.      история не занимается прогнозированием

2.      нет основательных рядов данных, массивов, по которым можно настраивать модель, ограниченность данных

3.      комплексная наука (от культуры до экономики).

Причины применения моделей в ист.исследованиях:

1.      реконструкция отсутствующих данных по динамике процесса (Пелопонесские войны)

2.      оценка роли тех или иных факторов в их действии на результат процесса, проверка предположений

3.      теоретический анализ ситуаций.

Модели бывают разных типов (от вербальных до математических). Философские, натурные и др.

Цель моделирования – заменить реальный объект исследования его моделью, а затем исследовать поведение модели, перенося выводы на объект.

Главный вопрос – адекватность модели изучаемому объекту (изоморфность).

Математическая модель – система уравнений, в которой конкретные величины заменяются математически понятными постоянными и переменными величинами, функциями. Для этого применяются дифференциальные, интегральные и алгебраические уравнения.

Система математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление; в общем смысле такая модель является множеством символических объектов и отношений между ними. (Г.И.Рузавин).

Типы моделей:

(связаны с ситуациями применения моделей)

- имитационные (имитирует характер процесса, допускается много переменных х и уравнений, сложная форма взаимосвязи между ними.

Пример: системы конечно-разностных уравнений)

- статистические (малое число уравнений, большое число переменных, сложные связи между ними, обратные связи трудны для исследования.

Пример: уравнения множественной регрессии, факторный анализ)

- аналитические (математические, одно или несколько уравнений и простая связь между ними.

Пример: дифференциальные уравнения, марковские цепи)

Эти три подхода, вообще говоря, приводят исследователя к построению различных типов теорий. Там, где используется аналитическое моделирование, имеются небольшие возможности для анализа поведения систем с нелинейными или обратными связями. Когда выбрано статистическое моделирование, мы вынуждены оценивать параметры модели из уравнений. Такие модели также имеют ограниченное применение в случае наличия обратных связей. Если используется имитационное моделирование, тогда мы относительно свободны от математических или статистических ограничений. Это может быть чрезвычайно полезно для построения теории: есть возможность учитывать сложные обратные и нелинейные связи. Однако, в этом случае мы ограничены в понимании изучаемой системы пределами экспериментирования с моделью.

Модель Мальтуса – в 18 в. предсказал, что будет перенаселение. Но он не учел, что есть механизмы саморегулирования.

Лотка и Вольтера – модель «хищник-жертва».

14. Дифференциальные уравнения.

Построение модели, и ее изучение – "прогон" во времени, оценка роли различных факторов, выявление закономерностей – наиболее эффективно осуществляются с помощью формальных методов, например, разностных или дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение – связывает между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производную различных порядков по х. Часто роль независимой переменной играет время t.

Д.У. описывает, в отличие от разностного уравнения, динамику процесса в каждый момент времени.

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка:

F(x, y, y', y'', …,  ) = 0.

Порядок старшей производной определяет порядок уравнения. Например, уравнение y' + y = x имеет порядок 1, уравнение y'' + y'+2y = 0 – порядок 2, уравнение y''' + y'y – x=0 – порядок 3.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция y и ее производные входят в уравнение в первой степени, т.е. с коэффициентами, зависящими только от x, т.е. это уравнение вида:

По аналогии с обычным линейным уравнением функции     …,   называются коэффициентами уравнения, а правая часть, т.е. функция   – свободным членом. Наиболее простыми из линейных уравнений являются т.н. однородные линейные уравнения, в которых  =0.

Любая функция  , которая, будучи подставлена в дифференциальное уравнение, обращает его в тождество, называется решением этого уравнения. Таким образом, решить дифференциальное уравнение – значит найти все его решения.

Напомним (см. раздел 12.5), что основная задача интегрального исчисления – нахождение функции у, производная которой равна некоторой функции  . Оказывается, что эта задача сводится как раз к простейшему дифференциальному уравнению вида y' = f(x). Из интегрального исчисления известно, что общим решением этого уравнения является неопределенный интеграл

,

где С – произвольная константа. Выбирая различные значения С, можно получить любое частное решение этого уравнения. Чем выше порядок уравнения, тем больше констант входит в его общее решение: в решении уравнения второго порядка – две константы, третьего – три, n-го порядка – n.

Наиболее интересны дифференциальные уравнения, описывающие динамические системы, где в качестве независимой переменной выступает время t. Такие системы используются для описания эволюционных процессов.

Модель Мальтуса – в 18 в. предсказал, что будет перенаселение. Но он не учел, что есть механизмы саморегулирования.

Лотка и Вольтерра – модель «хищник-жертва».

КУРС ИНФОРМАТИКА И МАТЕМАТИКА