Математические модели дискретных систем

Дискретные объекты, отличающиеся друг от друга по назна­чению и конструктивным особенностям, могут быть представле­ны обобщенной математической моделью, отражающей специфи­ку определения степени их работоспособности. Подавляющее боль­шинство дискретных объектов содержит элементы непрерывного и дискретного типов, которые лежат в основе формирования мате­матической модели.

Определение работоспособности рассматриваемых объектов состоит в установлении допустимой степени изменения вида кри­вой, определяемой решением уравнения, описывающего поведение объекта относительно параметра работоспособности. Получение самого решения связано с использованием информации, которая заложена в уравнении, описывающем объект. Для рассматривае­мых объектов эта информация ограничена дискретными значения­ми контролируемых параметров, так что определение решения в форме непрерывной функции, в сущности, сводится к аппрокси­мации его с той или иной точностью.

Указанные обстоятельства заставляют рассматривать модель для дискретных систем в виде некоторого аналога дифференци­альным уравнениям — в форме разностных уравнений. В матрич­ной форме модель может быть представлена в виде

(16.7)

относительно независимой переменной в виде

(16.8)

Выражение (16.8) тождественно системе линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

(16.9)

Из (16.8) и (16.9) следует

— векторы (матрицы-столбцы).

В процессе исследования качества ОД дискретные системы в ряде случаев рассматриваются как непрерывные. С позиций диагностики моделям в форме (16.7) или (16.8) следует отдать пред­почтение, потому что решения, определяемые тем или иным ти­пом разностных уравнений в случае возникновения дефектов в системе, существенно отличаются от решений, определяемых ана­логичным типом дифференциальных уравнений.

16.4.

Математические модели систем диагностирования при случайных воздействиях

Рассматриваемые в данном разделе модели свойственны, в ча­стности, некоторым типам систем автоматического управления. К ним относятся, прежде всего, системы со случайно изменяю­щимся управляющим сигналом, а также системы, в которых не­исправности вызывают случайное изменение параметров работо­способности.

Изменение параметров работоспособности данных систем в от­личие от детерминированных не является рядом следующих друг за другом переходов из одного установившегося состояния в дру­гое, но представляет собой случайную функцию. Функция работо­способности, изменяющаяся по случайному закону, определяется статистическими характеристиками — математическими ожида­ниями выходных координат, их дисперсиями, функциями распре­деления вероятностей случайного процесса и другими более слож­ными функционалами, имеющими случайную природу. Эти ха­рактеристики в общем случае зависят от структуры системы, ее элементов и от случайных функций времени, определяющих слу­чайные воздействия на систему.

Математическая модель работоспособности может быть пред­ставлена дифференциальными уравнениями в форме

(16.10)

где t — время; Y_i — компоненты векторной функции работоспособ­ности — координаты системы, по которым производится оценка работоспособности; X_1, ..., Х_m — функции времени, изменяющие­ся по случайному закону и характеризующие случайные возмуще­ния и управляющие сигналы; η₁, …,η_l — случайные возмущения, возникающие в системе при неисправности; x₁, ..., x_k — случай­ные величины, характеризующие значения параметров элементов системы при той или иной неисправности; — линейные и не­линейные функции соответствующих аргументов.

Математическая модель (16.10) включает практически все си­туации, возможные при оценке влияния неисправностей на рабо­тоспособность системы.

Можно сформулировать основные задачи по анализу работо­способности систем:

1. Анализ работоспособности должен быть направлен на опре­деление степени влияния контролируемых параметров на работо­способность системы и необходим при выборе указанных парамет­ров и при классификации состояний системы по принципу «рабо­тоспособна/неработоспособна» .

2. Для системы по заданным вероятностным характеристикам управляющего случайного сигнала при известных вероятностных характеристиках контролируемых параметров необходимо найти вероятностные характеристики работоспособности системы при заданных ограничениях на условия эксплуатации.

В соответствии с существующими способами упрощения мате­матических моделей систем модель в форме (16.10) может быть представлена как

(16.11)

Переход к модели (16.11) выполнен в результате замены слу­чайных начальных условий нулевыми при помощи линейного представления переменных в форме

и приве­дения случайных функций x_i(t) к выходу.

Анализ работоспособности системы, таким образом, сводится к решению дифференциальных уравнений случайных величин в форме (16.11). Поскольку указанные дифференциальные уравне­ния содержат не только случайные величины, но и случайные функции, возникает задача выбора метода решения. В условиях случайности процессов исследование влияния контролируемых параметров на работоспособность системы сопряжено с рассмот­рением огромного числа вариантов при решении дифференциаль­ных уравнений случайных величин даже для одной конкретной системы. Отсюда вытекают требования к тем методам, которые в наибольшей мере удовлетворяют нуждам практики. Методологи­чески это вынуждает использовать в практике анализа современ­ные ЭВМ. Основным исходным условием, влияющим на весь анализ, является форма представления случайной функции. В класси­ческой теории случайных процессов известны две такие формы.

Случайная функция может рассматриваться как функция двух переменных — времени t и номера опыта s, в котором наблюдает­ся ее реализация:

(16.12)

Очевидно, что реализация случайной функции X(t) во време­ни может рассматриваться либо как совокупность выборочных функций x_s(t), либо как совокупность сечений x_t(s), полученных для фиксированных значений времени. Таким образом, возника­ет альтернативное решение представления функции: либо пред­ставлять ее множеством реализаций x_s(t), либо множеством сече­ний x_t(s), которое может рассматриваться как множество случай­ных величин {x_t(s)}. При прочих условиях, влияющих на выбор формы представления, важным оказывается соображение по прак­тичности представления. В этом случае предпочтение следует от­дать второй форме — представлению случайной величины в виде совокупности случайных величин, реализация которой по ее за­данным вероятностным характеристикам сводится к использова­нию тех или иных ее представлений в виде детерминированных функций случайных величин. При отмеченном подходе, во-пер­вых, появляется возможность широкого использования хорошо разработанных методов получения выборочных значений случай­ных величин по их заданным характеристикам с помощью ЭВМ и, во-вторых, можно пользоваться теми результатами, которые име­ются в теории анализа соответствующих систем.

16.5