Таким образом,

(11.13)

Если дисперсия генеральной совокупности известна, довери­тельные границы для средней наработки на отказ определяются также по формулам (11.13), в которых вместо квантилей распре­деления Стьюдента подставляются квантили U_α нормированного нормального распределения и вместо оценки s — значение .

Доверительные границы для при неизвестном среднем Т₀ определяются как

где

(11.14)

где χ²(1 – α₁)100% и χ²α₂100% — соответственно (1 – α₁)100- и α₂100-процентные точки χ²-распределения с п - 1 степенями сво­боды; α₁, α₂ — заданные, принятые односторонние доверительные вероятности. Обычно α₁ = α₂ = α.

При известном генеральном среднем Т₀ доверительные гра­ницы для среднего квадратического отклонения определяются по выражениям (11.14), только в этом случае

χ²[(1 – α₁)100%] и χ²[α₂100% ] представляют собой процентные точки χ²-распределе-ния с п степенями свободы.

Проверка согласия опытного распределения с теоретическим

Вопрос о согласовании опытного и теоретического распределе­ний является одним из важнейших вопросов проверки статистиче­ских гипотез. Между опытным и теоретическим распределениями всегда существуют расхождения. Объясняются ли эти расхожде­ния только случайными обстоятельствами, связанными с ограни­ченностью выборки п, или они существенны и связаны с тем, что подобранная теоретическая кривая плохо выравнивает данное опыт­ное распределение? На практике для ответа на такой вопрос исполь­зуются так называемые критерии согласия: критерий Колмогоро­ва, критерий χ², критерий ω² и др. Критерий Колмогорова может применяться для проверки любого теоретического распределения, однако при этом необходимо, чтобы гипотетическое распределе­ние F(x) было известно заранее. Для применения критерия Колмо­горова необходимо, чтобы число наблюдений п > 100. Критерий χ² основан на том, что значение χ² при п асимптотически подчинено χ²-распределению с числом степеней свободы

(r- 1). Здесь r — количество интервалов, в которые группируются статистические данные; в зависимости от объема выборки п при 100 < п ≤ 200 — r =15...18; при 200 ≤ n ≤ 400 — r=30...40. Критерий χ² может применяться для проверки любого теоретического распределения, которое до опыта неизвестно. Для применения критерия χ² в мате­матической статистике считается достаточным значение п > 50.

Критерий ω² использует статистику, представляющую собой взвешенную сумму квадратов разностей между функцией опыт­ного распределения и функцией теоретического распределения

где — весовая функция.

В зависимости от вида весовой функции вид статистики из­меняется. Обычно используют весовые функции двух видов: , когда все значения функции распределения имеют одинаковый вес, и

при которой увеличивается вес наблюдений на «хвостах» распре­деления.

Критерий ω² является более мощным, чем критерии Колмого­рова и χ², но его применение требует большого количества вычис­лительных операций, и число наблюдений должно составлять п > 50 [28]. Кроме этого, критерий ω² используется только для негруппированного ряда наблюдений.

При проверке согласия опытного и теоретического распреде­лений, кроме указанных выше примеров применения критериев согласия, обычно осуществляют также проверку нормальности распределения, оценку аномальности результатов наблюдения, проверку гипотез относительно средних значений и дисперсий по реальным исходным данным.

11.2.

Методы оценки показателей надежности путем обработки усеченных выборок

Одним из методов повышения точности оценок показателей надежности ЭА является учет наработки неотказавших ЭА. Так как сложные ЭА относятся к классу высоконадежных объектов, то для него объемы выборок отказавших объектов обычно

невелики. Следовательно, и точность определения количественных показателей надежности будет низкой, если учитывать наработки только отказавших объектов. Процесс эксплуатации однотипных ЭА можно представить в виде схемы, изображенной на рис. 11.1. В моменты времени, отмеченные х, в реализации появляется отказ. Знак «•» означает окончание восстановления работоспособ­ности. Безотказные реализации не имеют никаких знаков. Рабо­тоспособность ЭА может восстанавливаться либо их снятием, либо ремонтом без замены. Тогда после окончания восстановления ра­ботоспособности ЭА либо продолжает наработку, либо после заме­ны новый ЭА начинает работать с t = 0. Таким образом, в эксплуа­тации за определенное время Т находятся следующие виды ЭА:

• ни разу не отказавшие;

• новые;

• работоспособность которых после отказа была восстановлена ремонтом без замены.

Поэтому при эксплуатации ЭА мы имеем дело с усеченными наработками, ограниченными моментами окончания или начала наблюдений. Наработки ЭА от начала наблюдения до первого от­каза называются начальными усеченными наработками, от послед­него отказа до окончания наблюдения — конечными усеченными наработками, а наработки всех объектов до отказа — полными наработками.

Рассмотрим примеры определения оценок показателей надеж­ности ЭА методом усеченных выборок. Пусть имеется эксплуатационная информация о наработках ЭА данного типа за время Т объема N₀ = п + s + v, где

1. —выборка отказавших ЭА и замененных на новые;

2. — выборка неотказавших ЭА;

1. — выборка ЭА, продолжающих работать после вос­становления.

Наработка ЭА до отказа распределена по закону F(θ,t). Оце­ним параметры закона распределения методом максимального правдоподобия. С этой целью напишем функцию правдоподобия для выборки, имеющей усеченные наработки:

(11.15)

где 𝛩 — вектор искомых параметров закона распределения.

Для нахождения 𝛩 решается система уравнений r-го порядка

(11.16)

Экспоненциальное распределение является однопараметрическим, для которого

Функция правдоподобия имеет вид

Взяв производную от функции правдоподобия и приравняв ее нулю, имеем

Получаем оценку параметра

(11.17)

Из выражения (11.17) видно, что если в значении выборки N₀ число отказов ЭА п невелико, то оценка интенсивности отказов (и других показателей надежности) только по объему выборки без учета выборки неотказавших ЭА и восстановления будет сущест­венно отличаться от истинной, т. е. подтверждается мысль, что λ* → λ тогда и только тогда, когда п →N₀, a N₀ → ∞.