6.6. Итерационные алгоритмы улучшения начального размещения

Для этих алгоритмов необходимо задать начальный вариант размещения.

Итерационные алгоритмы применяются для решения задачи размещения с различными критериями оптимизации: суммарная длина соединений, наиболее длинная связь, суммарное число пересечений соединений и т.д.

В любом итерационном алгоритме исследуется подмножество размещений, в некотором смысле близких к начальному, для выделения в нем размещения с меньшим значением функции - критерия. Найденное размещение вновь принимается за начальное и процесс повторяется. Алгоритм завершается при отыскании некоторого размещения, в окрестности которого отсутствуют варианты с меньшим значением функции - критерия. В большинстве случаев такой процесс приводит к получению локального минимума функции - критерия.

В качестве начального может быть взято размещение, полученное конструктивным алгоритмом размещения, с помощью генератора случайных размещений или заданное конструктором.

Простейшим итерационным алгоритмом является алгоритм парных перестановок.

Он заключается в cледующем: в начальном размещении меняются местами два элемента и для новой конфигурации вычисляется функция – критерий. Если наблюдается уменьшение функции, то новое размещение заменяет старое, в противном случае этого не происходит. Затем выбирается другая пара элементов и процесс повторяется до тех пор, пока не будет применено правило остановки.

Рассмотрим алгоритм парных перестановок, в котором в качестве функции – критерия используется максимальная длина соединений. Такие задачи называют минимаксными (минимизация максимальной длины соединений). Данный критерий позволяет легко определять пары элементов для перестановки.

Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Для каждой пары соединенных вершин e_i и e_j вычисляется длина проводника

l_ij= x_i - x_j + y_i - y_j, где x_i , y_i и x_j, y_j координаты вершин e_i и e_j в размещении.

2. Определяются maxl_ij (если их несколько, то подсчитывается их количество k) и вершины e_i, e_j, дающие этот максимум.

3. Вершина e_i переставляется в размещении с соседней вершиной такой, что она находится слева или справа и сверху или снизу от e_i и ближе к e_j.

4. Для нового размещения повторяется п.1.

5. Определяются maxl’_ij (и их количество k’).

6. Если maxl_ij > maxl’_ij или maxl_ij = maxl’_ij и k > k’, то переход к п.3, в противном случае прежнее размещение восстанавливается.

7. Вершина e_j переставляется в размещении с соседней вершиной такой, что она находится слева или справа и сверху или снизу от e_j и ближе к e_i.

8. Пока есть не рассмотренные соседи вершины e_j выполняются п.п. 4-6.

9. Итерационный процесс заканчивается.

Пусть дано размещение рис. 6.9 (а).

Рисунок 6.9. Положение элементов: до (а) и после перестановки (б)

Значение функции F(р)=18.

1. Для каждой пары соединенных вершин e_i и e_j вычислим l_ij:

l₁₂=1; l₁₃=2; l₂₄=2; l₂₅=1; l₃₄=3; l₅₆=1; l₅₇=2; l₆₈=2; l₇₈=1; l₇₉=2; l₈₉=1.

maxl_ij = l₃₄ = 3.

2. Меняем местами вершины e₃ и e₂ (рис. 6.9 (б)).

3. Для каждой пары соединенных вершин e_i и e_j вычислим новые l’_ij:

l₁₂=2; l₁₃=1; l₂₄=3; l₂₅=2; l₃₄=2; l₅₆=1; l₅₇=2; l₆₈=2; l₇₈=1; l₇₉=2; l₈₉=1.

maxl’_ij = l₂₄ = 3. Максимальная длина не уменьшилась, возвращаем размещение (рис. 6.9 (а)).

4. Меняем местами вершины e₃ и e₆ (рис. 6.10 (а)).

Рисунок 6.10. Перестановка элементов e₃ и e₆ (а); e₄ и e₅ (б)

5. Для каждой пары соединенных вершин e_i и e_j вычислим новые l’_ij:

l₁₂=1; l₁₃=3; l₂₄=2; l₂₅=1; l₃₄=2; l₅₆=2; l₅₇=2; l₆₈=3; l₇₈=1; l₇₉=2; l₈₉=1.

maxl’_ij = l₁₃ = l₆₈ =3. Максимальная длина не уменьшилась, возвращаем размещение (рис. 6.9 (а)).

6. Меняем местами вершины e₄ и e₅ (рис. 6.10 (б)).

7. Для каждой пары соединенных вершин e_i и e_j вычислим новые l’_ij:

l₁₂=1; l₁₃=2; l₂₄=1; l₂₅=2; l₃₄=2; l₅₆=2; l₅₇=1; l₆₈=2; l₇₈=1; l₇₉=2; l₈₉=1.

maxl’_ij=l₁₃=l₂₅=l₃₄= l₅₆= l₆₈= l₇₉=2. Максимальная длина уменьшилась. Сохраняем полученное размещение. Количество максимумов k = 6.

8. Меняем местами вершины e₁ и e₂ (рис. 6.11 (а))

Рисунок 6.11. Перестановка элементов e₁ и e₂ (а); e₄ и e₅ (б)

8. Для каждой пары соединенных вершин e_i и e_j вычислим новые l’_ij:

l₁₂=1; l₁₃=1; l₂₄=2; l₂₅=1; l₃₄=2; l₅₆=2; l₅₇=1; l₆₈=2; l₇₈=1; l₇₉=2; l₈₉=1.

maxl’_ij = 2. Максимальная длина не изменилась. Количество максимумов k’=5<k. Сохраняем полученное размещение, k=5.

8. maxl’_ij = l₂₄= l₃₄=l₅₆= l₆₈= l₇₉=2. Меняем местами e₂ и e₁ и возвращаемся к размещению рис. 6.10 (б).

11. Меняем местами e₂ и e₅ (рис.6.12 (б)).

12. Для каждой пары соединенных вершин e_i и e_j вычислим новые l’_ij:

l₁₂=2; l₁₃=1; l₂₄=1; l₂₅=1; l₃₄=2; l₅₆=3; l₅₇=2; l₆₈=2; l₇₈=1; l₇₉=2; l₈₉=1.

maxl’_ij = l₅₆=3. Максимальная длина увеличилась. Возвращаем размещение.

11. Меняем местами e₄ и e₅ (рис.6.12 (а)).

12. Для каждой пары соединенных вершин e_i и e_j вычислим новые l’_ij:

l₁₂=1; l₁₃=1; l₂₄=1; l₂₅=2; l₃₄=3; l₅₆=1; l₅₇=2; l₆₈=2; l₇₈=1; l₇₉=2; l₈₉=1.

maxl’_ij = l₃₄=3. Максимальная длина увеличилась. Возвращаем размещение.

11. Меняем местами e₄ и e₁ (рис.6.12 (б)).

12. Для каждой пары соединенных вершин e_i и e_j вычислим новые l’_ij:

l₁₂=2; l₁₃=2; l₂₄=1; l₂₅=1; l₃₄=1; l₅₆=2; l₅₇=1; l₆₈=2; l₇₈=1; l₇₉=2; l₈₉=1.

11. maxl’_ij = 2. Максимальная длина не изменилась. Количество максимумов k’ = 5 = k.

Возвращаем размещение рис. 6.11 (а).

Длину соединения (e_2, e₁) уменьшить не удалось. Алгоритм заканчивает работу.

Значение функции F(р)=16.

Заметим, что если в размещении рис. 6.11 (а) поменять местами элементы e₈ и e₉ (рис. 6.12 (в)), то количество максимумов уменьшится (k’ =4). Значение функции F(р)=15. Но максимальная длина останется такой же, поэтому алгоритм заканчивает работу при первой неудачной попытке уменьшения maxl’_ij.

Рисунок 6.12. Перестановка элементов e₄ и e₅ (а); e₄ и e₁ (б); e₈ и e₉ (в)