Қайталау сұрақтары

1. Екі шеңбердің радикалды өсі деген не?

2. Екі шеңбердің әртүрлі орналасуындағы олардың радикалдық өсін қалай салады?

3. Үш шеңбердің радикалдық центрі деген не?

4. Қандай шеңберлер ортасынан бөлінеді?

5. Концентрлі емес екі шеңберді ортасынан бөлетін шеңбер центрі қайда жатады?

6. Радикалдық өс пен центрді салу есебін шешу.

Әдебиеттер

1. Рахымбек Д., Мадияров Н.К., Сейтжанова К.Б. Геометриялық салу есептері: Оқу құралы. Шымкент, «Нұрлы бейне», 2013. -287 бет

2. 1) Шыныбеков Ә.Н. Геометрия. Жалпы білім беретін мектептің 7-сыныбына арналған оқулық. Алматы, “Атамұра”, 2003. 2) Геометрия 8, 2004. 3) Геометрия 9, 2005

3. Погорелов А.В. Геометрия: Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 7-11 сыныптарына арналған оқулық. – 2-басылымы. Алматы: Просвещение-Қазақстан, 2003, 152 б.

6-дәріс. Салу есептерін геометриялық түрлендірулер жәрдемімен шешу. Салу есебін шешуде қозғалысты пайдалану. Параллель көшіру әдісі.

Көптеген салу есептерін шешуге геометриялық түрлендіру әдістерін үлкен табыспен қолдануға болады.

Салу есебін шешу барысында берілген немесе ізделінді фигуралармен қатар олардан немесе олардың бөліктерінен қандайда бір түрлендіруді пайдалану нәтижесінде шыққан басқа фигураларды қарастыруға тура келеді. Оны салу оңайырақ болуы мүмкін. Ол фигураны салған соң оны кері түрлендіру арқылы ізделінетін фигура салынады.

Түрлендірудің қандай түрі (қозғалыс, симметрия, параллель, көшіру, бұру, ұқсас түрлендіру, т.б.) қолданылғандығына байланысты салу әдісі де осылай аталады (мысалы, салудағы симметрия әдісі, параллель көшіру әдісі, ұқсас түрлендіру әдісі т.б.)

Салу есебін шешуде қозғалысты пайдалану. Параллель көшіру әдісі

Б ұл әдіс, салу есебін шешу барысында салынған немесе салынбақ фигураларды, олардың бөліктерін қозғалыстың ыңғайлы түрі арқылы түрлендіріп салуға қолайлы түрге келтіруге мүмкін болатын жағдайларда қолданылады.

Салу есебін шешу барысында берілген фигураларды не олардың бөліктерін немесе ізделетін фигураны бір – біріне жақындатуға тура келеді. Осындай жағдайда параллель көшіру әдісін қолданған жақсы нәтиже береді. Бұл әдіс әсіресе көпбұрыштарды салуда пайдалы. ­­Өйткені көпбұрышты параллель көшіру арқылы олардан салуға мүмкіндік беретін элементтері белгілі үшбұрыш шығарып алуға болады. Содан соң қайта көшіру арқылы ол үшбұрышты ізделетін фигураға айналдыруға болады.

1-мысал. Екі қарама-қарсы қабырғасы және үш бұрышы берілген төртбұрышты салу керек.

Шешуі. Төртбұрышты салу үшін 2п-3=2·4-3=5 шарт берілуі керек. Есепте 5 шарт берілген (2 қабырға, 3-бұрыш).

Талдау. Ізделген төртбұрыш салынған дейік (19-сурет). Ондағы ВАD= , АВС= , АDС= , АD=a, ВС=ℓ болсын.

Егер ВС қабырғаны векторға параллель жылжытсақ ол АЕ жағдайға келеді де, AED шығады. Мұның үш элементі белгілі:

АD=a, AE=ℓ, EАD= ВАD- ВАE= ВАD-(180- CВА)= -(180- )= + -180. Сол үш бұрышты салып, оның АЕ қабырғасын векторға параллель жылжытса іздеген АBCD төртбұрыш шығады.

Салу. а) AD=a кесіндіні салып, А нүктеде AD мен жасайтын бұрышы + -180 болатын АЕ түзуін жүргізіп оның бойына АЕ= кесіндіні саламыз.

б) Е нүктеден АЕ түзуімен бұрыш жасайтын ЕС сәулесін саламыз.

в) D нүктеден АD мен бұрыш жасайтын DС түзуін жүргіземіз.

г) ЕС мен DС сәуелерден жылысу нүктесін С дейік.

д) С нүктеден ЕА-ға, А нүктеден ЕС-ға параллель түзулер жүргізіп олардың қилысу нүктесін В десек, іздеген АBCD төртбұрыш шығады.

Дәлелдеу. АЕС= , AB//EC болғандықтан ЕAB=180- болады. Сонда ВАD= ЕAD+ ЕAB=( + )-180⁰+180- = болады. Салу бойынша АDС= және AD=a. Параллелограмның қарама-қарсы қабырғасы болғандықтан BC=AE=b. Сөйтіп, салынған төртбұрыш есептің 5 шартында қанағаттандырады. Сондықтан AВСD іздеген төртбұрыш болады.

Зерттеу. Есеп шешуі үшін берілген + + <4d және , , -ның әр қайсысы 2d-дан кем болуы керек. Үшбұрыш AЕD салыну үшін AD+AE>ED>/AD-AE/ яғни a+b>ED>a-b болуы керек.

Ж оғарыда айтылған салулардың барлығы бірмәнді орындалады. Сондықтан есептің бір шешімі болады.

2-мысал. W₁(О₁, r₁), W₂(О₂, r₂) екі шеңбер, ℓ түзуі және m кесінді берілген. ℓ түзуіне параллель болатын. m-ге тең болатын бір ұшы W₁(О₁, r₁), екінші ұшы W₂(О₂, r₂) шеңберде жататын кесінді салу керек (20-сурет).

Талдау. Есеп шешілген, ізделінген АВ кесінді салған дейік. Егер жазықтықты векторға паралель жылжытсақ W₁(О₁, r₁) шеңбер W₃(О₃, r₁) шеңберге көшір еді, ал А нүкте А нүктеге көшер еді. Сондықтан В нүкте W₂(О₂, r₂) шеңберде жатар еді. Сөйтіп АВ кесінді салынар еді.

Салу: а) ℓ түзуіне СD=m кесіндіні өлшеп саламыз.

б) О₁ нүктені векторға параллель көшіреміз, яғни О₁ нүктеден ℓ түзуіне параллель жүргізіп, оның бойына О₁О₃=CD=m кесіндіні өлшеп саламыз.

в)W₃(0₃, r₁) шеңберін саламыз.

г) W₃,W₂ шеңберлердің қиылысу нүктесі В-ны табамыз.

д) О₃ пен В-ны жалғаймыз.

е)О₁-ден О₃В-ға параллель жүргізіп оның шеңбермен қиылысу нүктесі А-ны табамыз.

А мен В жалғайтын АВ кесінді іздеген кесінді болады.

Дәлелдеу. СD=m етіп салынғандықтан О₁О₃//CD, О₁О₃=CD болғандықтан О₁О₃=m және О₁О₃// ℓ болады. Ал, О₁А мен О₃В әрі тең, әрі параллель болғандықтан О₁АВО₃ параллелограмм болады. Сондықтан АВ// О₁О₃//ℓ және AB=m болады. Ал, А нүкте W₁ шеңберде жатқандықтан, В нүкте W₃ шеңбер және W₂ шеңбердің қиылысу нүктесі болғандықтан В нүкте W₂(О₂,r₂) шеңберге жатады. Сөйтіп АВ кесінді есеп шартын қанағаттандырады, іздеген кесінді болады.

Зерттеу. Жоғарыда келтірілген a-е салулардың барлығыда бірмәнді орындалады. Сондықтан W₃ шеңбер W₂ шеңбермен қиылысса онда есептің екі шешімі болады: А,В және А₁В₁ кескінділер. Егер олар жанасса бір шешімі болады. Ал қилыспаса шешімі болмайды.