Әдебиеттер

1. Рахымбек Д., Мадияров Н.К., Сейтжанова К.Б. Геометриялық салу есептері: Оқу құралы. Шымкент, «Нұрлы бейне», 2013. -287 бет

2. 1) Шыныбеков Ә.Н. Геометрия. Жалпы білім беретін мектептің 7-сыныбына арналған оқулық. Алматы, “Атамұра”, 2003. 2) Геометрия 8, 2004. 3) Геометрия 9, 2005

3. Погорелов А.В. Геометрия: Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 7-11 сыныптарына арналған оқулық. – 2-басылымы. Алматы: Просвещение-Қазақстан, 2003, 152 б.

3-дәріс. Жазықтықтағы көп кездесетін нүктелер жиыны немесе негізгі геометриялық орындар

Орташа қиындықты және күрделі салу есептерін шешу үшін арнайы әдістер пайдаланылады. Олар негізінен мыналар:

1. Фигуралардың қиылысу әдісі немесе нүктелердің геометриялық орындары әдісі.

2. Геометриялық түрлендірулер әдісі.

3. Алгебралық әдіс.

Көп кездесетін нүктелер жиыны немесе нүктелердің геометриялық орындары (нго).

Жоғарыда баяндалған фигуралардың қиылысу әдісін салу жұмысына қолдана білу және нүктенің қандай нүктелер жиынына жататын тезірек аңғару үшін түрлі шарттарға бағынатын нүктелер жиынының қандай фигуралар болатынын білу керек. Сондықтан жиі қолданылатын кейбір нүктелер жиынын, яғни нүктелердің геометриялық орнын келтірейік.

1º. Жазықтықта бір нүктеден теңдей қашықтықта жататын нүктелер жиыны шеңбер болады.

2º. А, В екі нүктеден бірдей қашықтықта орналасқан нүктелер жиыны АВ кесіндінің орта перпендикуляры болады.

3º. Берілген түзуден бірдей d қашықтықта жататын нүктелер жиыны ол түзуден d қашықтықтан өтетін оған параллель екі түзу болады.

4º. Екі түзуден бірдей қашықтықта жататын нүктелердің геометриялық орны:

а) егер ол екі түзу қиылысса, ол түзулер арасындағы бұрыштың биссектрисасы болатын екі түзу болады.

б) егер ол екі түзу параллель болса, онда олардың симметриялық осі болатын түзу болады (яғни, ол түзулердің ортасынан өтетін оларға параллель түзу болады).

5º. АВС үшбұрышымен тең шамалы және АС табаны ортақ болатын үшбұрыштардың төбелерінің жиыны – В-дан өтетін АС-ға параллель түзу болады (яғни, биіктігі ∆АВС биіктігіндей болатын үшбұрыштар болады).

6º. Берілген а кесінді берілген α бұрышпен көрінетін жазықтық нүктелерінің жиыны – берілген а=АВ кесінді ұшынан өтетін және оған қарағанда симметриялы болатын екі шеңбер доғасынан тұрады (3-сурет). Ол шеңбердің центрі АВ кесінді мен А нүктеде α бұрыш жасайтын АС түзуге А нүктеде жүргізілген перпендикуляр түзу мен АВ кесіндінің ортасынан оған жүргізілген перпендикуляр түзудің қиылысу нүктесі болады. Егер АВ=а диаметр болатын шеңбер сызсақ, онда ол шеңбердің нүктелері а кесінді 90º-тық бұрышпен көрінетін нүктелер болады.

7º. Берілген (о,r) шеңбер (яғни центрі О нүкте, радиусы r болатын шеңбер) α бұрышпен көрінетін В нүктелер жиыны радиусы берілген шеңбер радиусынан ұзын болатын онымен концентрлі шеңбер болады (4-сурет). Ол шеңбердің радиусы берілген шеңбер радиусы ОА-ға А нүктеде перпендикуляр болатын түзумен сол ОА радиуспен О нүктеде 90-π/2 бұрыш жасайтын түзудің қиылысу нүктесі В мен берілген шеңбер центрі О нүктесінің арасы ОВ кесіндіге тең болады.

8º. О центрлі шеңбердің А нүктеден (бұл шеңбердің ішкі, шекаралық, сыртқы нүктесі болуы мүмкін) өтетін барлық хордаларының қақ орталарының жиыны диаметрі ОА болатын қандай да бір шеңбер болады (5-а,б,в суреттер).

9 º. О центрлі шеңбердің бойында жатқан А нүктеден жүргізілген хордаларды m:n қатынаста бөлетін нүктелердің жиыны центрі ОА-да жататын А нүктеден өтетін (яғни берілген шеңберге А нүктеде жанасатын) шеңбер болады (6-сурет), = m:n=1 болса, онда ол шеңбер ОА кесінді диаметрі болатын шеңбер болады (5-в суреттегідей).

1

О₁

0º. А₁В екі нүктеден әрқайсысын қашықтықтарының квадраттарының айырымы тұрақты болатынын (Мысалы, m² болатын) нүктелер жиыны АВ кесіндіде жататын АD²-DВ²=m² шартын қанағаттандыратын D нүктеден АВ-ға перпендикуляр етіп жүргізілген түзу болады.

11º. Берілген А₁В екі нүктеден әрқайсысының қашықтықтарының квадраттарының қосындысы тұрақты (Кесінді m-нің квадратына тең) болатын нүктелер жиыны - центрі АВ=а кесіндісінің қақ ортасы, радиусы болатын шеңбер болады.

12º. Берілген А₁В нүктелерден қашықтықтарының қатынасы тұрақты және 1-ге тең емес болатын нүктелердің жиыны центрі АВ түзуінде жататын шеңбер болады (оны Аполлоний шеңбері дейді).

13º. Екі шеңберге жүргізілген жанамалары теңдей болатын нүктелер жиыны шеңбердің центрлер сызығына перпендикуляр түзу болады (оны радикал осі дейді). Егер шеңбердің центрлері О₁, О₂ радиустары r₁,r₂ болса радикал өс О₁D²- О₂D²= - болатын О₁О₂ кесіндінің D нүктесінен оған перпендикуляр етіп жүргізіледі. Егер екі шеңбер қиылысса радикал өс олардың ортақ хордасымен беттеседі.

14º. Концентрлі екі шеңберге жанасатын шеңберлер центрінің жиыны радиусы болатын оларға концентрлі шеңбер болады.