Қайталау сұрақтары

1. Кеңістіктегі жиі кездесетін нүктелер жиындарын (нүктелердің геометриялық орындарын) атаңдар.

2. Нүктелердің геометриялық орындары әдісінің мән-мағнасын түсіндіріңдер.

3. Бiр геометриялық образды нүктелердiң геометриялық орны ретiнде де‚ сол сияқты сызықтардың геометриялық орны ретiнде де қарастыруға болады. Нақты мысалдар келтіріңдер.

Әдебиеттер

1. Рахымбек Д., Мадияров Н.К., Сейтжанова К.Б. Геометриялық салу есептері: Оқу құралы. Шымкент, «Нұрлы бейне», 2013. -287 бет

2. 1) Шыныбеков Ә.Н. Геометрия. Жалпы білім беретін мектептің 10-сыныбына арналған оқулық. Алматы, “Атамұра”, 2003. 2) Геометрия 11, 2005

3. Погорелов А.В. Геометрия: Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 7-11 сыныптарына арналған оқулық. – 2-басылымы. Алматы: Просвещение-Қазақстан, 2003, 152 б.

22-дәріс. Геометриялық фигураларды кескіндеудің негізгі принциптері. Параллель проекцияның анықтамасы және қасиеттері. Жазық фигураның проекциясын салу.

Орта мектеп геометриясын оқыту процесінің ең қажетті де күрделі мәселелерінің бірі оқушыларға стереометриялық фигураларды дұрыс кескіндеуге үйрету болып табылады. Бірақ өкінішке орай практикада көптеген мұғалімдер бұл мәселеге жете көңіл бөлмейді немесе оны оқыту процесінде қолдануда үлкен қателіктер жібереді. Мұндай қателердің жіберілу себептері мұғалімнің стереометриялық фигураларды кескіндеу теориясы мен оған қойылатын талаптарды терең білмеуінде деп ойлаймыз.

Геометриялық фигураларды кескіндеу - әдістемелік тұрғыдан әлі де терең зерттеуді қажет ететін мәселе болып табылады. Бұл мәселе көптеген ғалымдар мен әдіскерлердің, атап айтқанда Н.Ф.Четверухиннің, А.Д.Семушиннің, Н.М.Бескиннің, Н.П.Ирошниковтың, В.Н.Литвиненконың, Л.П.Лоповоктың, Д.Ф.Иззактың, В.Н.Костицынның, И.М.Смирнованың және т.б. еңбектерінде терең зерттеліп, мектеп геометриясына енгізілген. Мектеп геометриясында “Кеңістік фигураларының жазықтықтағы кескіні” атты арнайы бір тақырып ретінде беріліп, стереометриялық фигураларды кескіндеудің негізгі ережелері қысқаша түрде баяндалған. Бірақ бұл фигуралардың кескінін салу осы бір сабақпен ғана шектеледі деген мәселе емес, осы тақырыпта берілген негізгі ережелерді пайдалана отырып кескіндеу дағдылары әр жаңа сабақ сайын дамытылып, жетілдіріліп отыруы қажет. Өйткені сызбалар геометрияны оқытудың ажырамас бір бөлігі болып табылады. Демек, геометриялық фигуралардың кескіндерінен тұратын мұндай сызбаларды сауатты орындай білу, әрбір математика пәні мұғалімінің міндеті болып табылады.

Енді осы мәселе бойынша геометриялық фигураларды кескіндеу теориясын тереңірек қарастырып, оны орындау принциптерін ашуға тоқталайық.

Фигура кескіні параллель проекциялау арқылы мынадай екі қадамнан кейін алынады.

1) Фигураның барлық нүктесі берілген бағыт бойынша проекция жазықтығына проекцияланады.

2) Проекция жазықтығында алынған фигура ұқсас түрлендіріледі.

Олай болса, фигура кескінінің анықтамасын былай тұжырымдауға болады:

Анықтама: Фигура кескіні деп оның параллель проекциясына ұқсас фигураны айтамыз.

Фигураны кескіндеу тікелей параллель проекциялау арқылы орындалатындықтан, оқушыларды біріншіден параллель проекциялау ережелерімен таныстыру қажет.

Параллель проекцияның анықтамасы және қасиеттері

К еңістікте α жазықтығы және одан тысқары жатқан А нүктесі берілген. α жазықтығына параллель емес қандай да бір ℓ бағытын таңдап аламыз және оны проекциялау бағыты деп атаймыз. Берілген А нүктесі арқылы ℓ бағытымен (векторымен) бағыттас түзу жүргіземіз, осы түзудің α жазықтығымен қиылысу нүктесін А арқылы белгілейік (66-сурет). А нүктесі А нүктесінің α жазықтығындағы проекциясы деп аталады. Сондай-ақ α жазықтығы - проекция жазықтығы; АА түзуі – проекциялаушы түзу деп аталады.

Параллель проекциялаудың анықтамасынан нүктенің проекциясы нүкте болатындығын көреміз.

Кеңістіктегі қандай да бір сызықтың параллель проекциясы деп проекция жазықтығындағы осы сызықтың барлық нүктелерінің проекцияларының геометриялық орнын айтады.

1-теорема: Түзудің проекциясы түзу болады.

Дәлелдеу: А және В нүктелері АВ түзуінің сәйкесінше А және В нүктелерінің проекциясы болсын (67-сурет).

АВ түзуінде жататын С нүктесінің проекциясы - С нүктесі А В түзуіне тиісті емес болсын. Онда АА түзуіне параллель СС проекциялаушы түзуі А АВВ жазықтығынан тысқары жатады. Ал А АВВ жазықтығында С нүктесі арқылы АА түзуіне параллель СС түзуін жүргізуге болады. Олай болса, С нүктесі арқылы АА түзуіне параллель екі СС және СС түзулері жүргізілді, ал бұл параллельдік аксиомасына қайшы. Демек, С нүктесінің проекциясы А В түзуіне тиісті болады. С нүктесі АВ түзуінен еркінше таңдалып алынғандықтан, АВ түзуінің кез келген нүктесінің проекциясы А В түзуіне тиісті болады.

Салдар: Түзудің проекциясын салу үшін, оның екі нүктесінің проекциясын анықтау жеткілікті.

2-теорема: Параллель түзулердің проекциялары да өзара параллель болады.

Дәлелдеу: АВ және СD түзулері параллель (68-сурет). Проекциялау бағытын таңдап алып, АА , ВВ , СС және DD проекциялаушы түзуін жүргіземіз. АВ║СD , АА ║ СС болғандықтан сәйкесінше қиылысушы АВ, АА және СD , СС түзулері арқылы өтетін А АВВ және С СDD жазықтықтары өзара параллель. Осы параллель жазықтықтардың α проекция жазықтығымен қиылысу түзулері сәйкесінше А В және С D параллель түзулері болады. Мұндағы А В ║С D түзулері сәйкесінше АВ║СD түзулерінің проекциялары.

3-теорема: Бір түзуде немесе параллель түзулер бойында жатқан кесінділердің ұзындықтарының қатынасы, олардың проекцияларының қатынасына тең.

Дәлелдеу: АD түзуінде жатқан АВ және СD кесінділерінің проекциялары сәйкесінше А В және С D кесінділері болады (69-сурет).

А АDD - проекциялаушы жазықтығын қарастырамыз. Бұл жазықтықта АD, А D қиылысушы түзулері АА , ВВ , СС және DD параллель түзулерімен қиылған.

Планиметрия курсынан белгілі = = , яғни = . Соңғы қатынастан дәлелдеу қажетті = теңдігін аламыз.

Егер АВ және СD кесінділері параллель түзулерде жатса, онда = қатынасының орындалатындығын осыған ұқсас оңай дәлелдеуге болады.

Осы жасалған тұжырымдардан параллель проекциялаудың мынадай қасиеттері алынады:

1. Қандай да бір сызыққа тиісті нүктенің проекциясы осы сызықтың проекциясына тиісті болады.

2. Түзудің проекциясы түзу болады.

3. Параллель түзулердің проекциялары да параллель болады.

4. Проекциялауда бір түзудің немесе параллель түзулердің бойында жатқан кесінділердің қатынасы сақталады.

Бұл тұжырымдалған қасиеттер берілген түпнұсқаның проекциясын алу үшін, оның әрбір нүктесін тікелей проекциялау қажеттілігінен құтқарады. Жоғарыда анықталғандай түзудің проекциясын алу үшін, оның екі нүктесінің проекциясын анықтау жеткілікті болса, жазық фигураның проекциясын алу үшін түпнұсқаның бір түзудің бойында жатпайтын үш нүктесін тікелей проекциялау жеткілікті болады. Бұл үш нүкте базистік нүктелер деп аталады. Ал осы үш нүкте арқылы анықталатын үшбұрыш базистік үшбұрыш деп аталады.

Олай болса фигураның (жазық немесе кеңістіктік) проекциясын алу үшін, оның базистік нүктелерінің проекциясы анықталғаннан кейін, басқа нүктелерінің проекциясы тұжырымдалған 1 -4 қасиеттер арқылы осы проекция жазықтығында салынады.