Дөңгелектің квадратурасы туралы есеп
Бұл есеп былайша тұжырымдалады:
Берілген дөңгелекке ауданы тең квадрат салу керек.
Шешуі:
Дөңгелек радиусын r десек, ауданы πr2
болады. Квадрат қабырғасын х
десек, мұның ауданы х2
болады. Сонда х2=πr2,
болады. Бұдан
.
Сөйтіп іздеген квадраттан қабырғасы
х-ты
2πr және
кесінділердегі геометриялық ортасы
ретінде салуға болады. Егер де r=1 десек
ℓ
=2 π болады. π-дің трансцендентті сан
екені белгілі. Рационал сандар өрісінде
алгебралық теңдеудің түбірі болатын
сандарды алгебралық сандар, ал түбірі
болмайтын сандарды трансценденттік
сандар дейді.
1766 жылы Швейцария математигі Иосиф Ламберт (1728-1777) π-санының иррационал сан болатынын, ол 1882 жылы Ф.Линдеман π-санының трансцендентті сан болатынын дәлелдеді. Сондықтан 2-теорема бойынша
ℓ =2π, ℓ=2πr кесінділерін циркуль және сызғыш жәрдемімен салуға болмайды. Сондықтан квадраттың қабырғасы болатын х кесіндісін циркуль және сызғыш арқылы салуға болмайды. Сөйтіп дөңгелектің квадратурасы туралы есеп циркуль және сызғыш жәрдемімен шешілмейді.
Бұл
есеппен біздің дәуірден 2000 жыл бұрын-ақ
ғалымдар айналысқан. Олар
деп алып, есепті жуықтап шешкен. Бұл
3,16
–ға сай келеді.
болады.
Есепті
деп алып шешуге де болады. Бұл кездегі
салыстырмалы қате 0,13% -тен аспайды.
Кубты екі еселеу есебі.
Бұл есеп былайша тұжырымдалады. Берілген кубтан көлемі 2 есе көп болатын куб салу керек.
Шешуі: Берілген кубтың қырын а, ізделетін кубтың қырын х десек, х3 =2а3 болу керек. Іздеген куб қыры осы теңдеудің шешімі болу керек. Егер а=1 десек, х3=2, х3-2 =0 теңдеуі шығады. Бұл үш дәрежелі теңдеу рационал сандар өрісінде келтірімсіз, яғни оның рационал түбірі жоқ. Сондықтан 2-теорема бойынша бұл теңдеудің түбірін циркуль және сызғыш жәрдемімен салуға болмайды.
Бұл
есепті жуықтап былайша шешуге болады.
Тең катетті тік бұрышты АВС үшбұрышын
салады (57-сурет). АВ=ВС=а
болсын, онда АС=
болады.
кесіндісін саламыз. Сонда
Ал,
.
Сонда қате 1% болады.
Ескерту. Циркуль және сызғыштан басқа құралдармен, сол сияқты тек циркульмен, тек сызғышпен салу есептерін шешуге болады.
Бұлар жайлы мынадай теоремалар бар.
1
0.
Италия
ғалымы Лоренцо Маскерани (1750-1800) одан
бұрын дат геометригі Георга Мор
(1640-1697) циркульдің жеке өзінің салу
мүмкіндіктерін көп зерттеген. Мор-Маскерани
теоремасы: циркуль және сызғышпен
салынатын кез-келген есеп тек циркульмен
де салынады.
20. Тек сызғышпен салу мәселесімен Ламберт, Брианшон, Швейцар геометригі Я. Штейнер (1796-1863) т.б. айналысты.
Бұл жөнінде Штейнердің мынадай теоремасы бар: циркуль және сызғыш жәрдемімен шешілетін кез-келген есепті тек сызғыш жәрдемімен салуға болады, егерде жазықтықта центрімен шеңбер берілсе.
30. Мына тұжырымдар дұрыс:
Циркуль және сызғыш жәрдемімен шығатын кез-келген салу есебін
а) бір ғана екі жақты сызғышпен салуға болады.
б) бір ғана берілген бұрышпен салуға болады.
в) циркуль және шектелген сызғышпен салуға болады.
Қайталау сұрақтары
Берілген кесінділер арқылы берілген кесіндіні циркуль және сызғышпен салынуы, салынбауы шарты.
Циркуль және сызғыш жәрдемімен шешілмейтін есептер (бұрышты 3-ке бөлу, дөңгелектің квадратурасы кубты екі еселеу) және оларды көмекші құралдармен салу жолдары.
Шеңберді теңдей етіп циркуль және сызғыш көмегімен 11, 12, 25, 100, 360-қа бөлуге болады ма?