Қайталау сұрақтары

1. Квадрат теңдеудің түбірлерін салу , ,

2. Дұрыс көпбұрыш деген не? Ол қандай жағдайда циркуль және сызғыш жәрдемімен салынады?

3. Шеңберді бөлу теңдеуі деген не?

4. Дұрыс көпбұрыштың циркуль және сызғыш арқылы салынуы жайлы Гаусс теоремасы қалай тұжырымдалады?

5. Дұрыс үшбұрыш, квадрат, алтыбұрыш, 5 бұрыш салу жолдары қандай?

6. Шеңберді қалайша жуықтап 7-ге бөлуге болады?

7. Шеңберді n-ге бөлу жолы қандай?

8. n қабырғалы дұрыс көпбұрышты салу.

Әдебиеттер

1. Рахымбек Д., Мадияров Н.К., Сейтжанова К.Б. Геометриялық салу есептері: Оқу құралы. Шымкент, «Нұрлы бейне», 2013. -287 бет

2. 1) Шыныбеков Ә.Н. Геометрия. Жалпы білім беретін мектептің 7-сыныбына арналған оқулық. Алматы, “Атамұра”, 2003. 2) Геометрия 8, 2004. 3) Геометрия 9, 2005

3. Погорелов А.В. Геометрия: Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 7-11 сыныптарына арналған оқулық. – 2-басылымы. Алматы: Просвещение-Қазақстан, 2003, 152 б.

14-дәріс. Циркуль және сызғыш жәрдемімен салынбайтын салу есептері: Бұрыштың трисекциясы туралы есеп. Дөңгелектің квадратурасы туралы есеп. Кубты екі еселеу есебі.

Циркуль және сызғыш жәрдемімен салынбайтын есептер көп. Мысалы тік төртбұрышты іштей, параллелограмды сырттай шеңбер салуға, үш нүктені бастыра түзу жүргізуге әруақытта бола бермейді. Өйткені есеп шартын қанағаттандыратын мұндай фигура болмауы мүмкін. Кейде ондай фигура болғанмен оны циркуль және сызғыш жәрдемімен салу мүмкін емес. Бұл бапта біз соңғы жағдайдағыдай есептерді қарастырамыз. Бұл салада төмендегі 2 теореманы басшылыққа аламыз.

1-Теорема. Ұзындығы х болатын кесінді ұзындығын берілген кесінділердің ұзындықтары а,в,с,...ℓ арқылы рационалдық амалдарды (қосу, алу, көбейту, бөлу және квадраттық түбір табу) шекті рет қолдану арқылы өрнектеуге болатын болса, онда ол кесіндіні циркуль және сызғыш жәрдемімен салуға болады.

2-Теорема. Берілген кесінділер арқылы х кесіндіні циркуль және сызғыш жәрдемімен салуға болатын болса, онда ол кесіндінің ұзындығын берілген кесіннділердің ұзындықтары арқылы рационал амалдарды шекті рет қолдану арқылы өрнектеуге болады.

Бұрыштың трисекциясы туралы есеп

Бұл есеп былайша тұжырымдалады: Циркуль және сызғыш жәрдемімен кез-келген берілген бұрыштан 3 есе кіші бұрышты салыңдар.

Шешуі: φ бұрышы берілген α бұрышы бұдан 3 есе кіші болсын: φ=3α. Гипотенузалары 2-ге тең, бір сүйір бұрышы φ, α болатын екі АВС, А₁В₁С₁ тікбұрышты үшбұрыштар салайық. АС=А₁С₁=2, ВАС = φ, В₁А₁С₁=α болсын, АВ=а, А₁В₁=α дейік (54-сурет).

Егер АВС-ның қабырғалары арқылы А₁В₁С₁үшбұрыштың х қабырғасын салсақ, онда α бұрышы салынар еді. Сондықтан АВС-ның қабырғалары арқылы А₁В₁=х кесіндіні салуға болар болмасын зерттейік.

және болады. Бұдан (1)

Сонымен қарастырылып отырған х кесінді рационал коэффициентті 3 дәрежелі теңдеудің шешімі болады екен.

Алгебрада мынадай теорема дәлелденеді:

Егер рационал сандар өрнекті берілген үш дәрежелі теңдеу ол өрнекте келтірімсіз болса, онда оның бірде – бір түбірін санаулы санды рационал амалдар (қосу, алу, көбейту, бөлу, арифметикалық түбір табу) арқылы өрнектеуге болмайды яғни мынадай теңдеудің рационал түбірі болмайды.

Егер болып (1) теңдеу мына түрге x³-3x-1=0 (2) келеді.

Бұл рационал өрісте келтірімсіз теңдеу. Сондықтан оның рационал түбірі болмайды. Демек 1-теорема бойынша бұл теңдеудің түбірін циркуль және сызғыш арқылы салуға болмайды.

Жалпы , р-жай сан болған кездегі бұған сай келетін бұрышты циркуль және сызғыш жәрдемімен теңдей етіп 3-ке бөлуге болмайтынын дәлелдеуге болады. Ал, болатын бұрыштарды циркуль және сызғыш арқылы теңдей етіп 3-ке бөлуге болады.

М ысалы n=1 болса =90⁰ болады. Мұны циркуль және сызғыш жәрдемімен 3-ке бөлуге, яғни 30⁰ –ты бұрышты салуға болады. Ол үшін гипотенузасы 2а, катеті а болатын тікбұрышты үшбұрыш салса, а катетке қарсы жатқан бұрыш 30⁰ болады.

Циркуль және сызғыш жәрдемімен 3-ке бөліктейтін бұрышты, қосымша басқа құралды пайдалану арқылы 3-ке бөлуге болады.

Мысалы циркуль және екі нүктесі сайлап алынған сызғыш арқылы кез келген бұрышты теңдей етіп 3-ке бөлуге болады. MON= бұрышы берілсін. Бұл бұрыштан 3-ке кем  - бұрышты салу 55-суретте көрсетілген.

Сызғышта белгіленген (сайлап алынған) А,В екі нүкте берілсін. Берілген MON= бұрыштың төбесі О-ны центр етіп, радиусы r=AB болатын шеңбер саламыз. Шеңбер берілген бұрыштың бір қабырғасын С нүктеде қисын. Сызғышты С нүктеден әрі-бері қозғау (бұру) арқылы ондағы В нүкте шеңберде, А нүкте МО түзуінде жататындай және С нүктеден өтетіндей жағдайға келтіреміз. Бұл кезде ОВ=BA болады да ВОА=BAO. Мұны - дейік. Сонда ОВС=2=OCB болар еді.

А л, MON==180⁰-(OCB+ВОА)=180⁰-(180-4)-=3 болып  бұрыштан 3 есе кіші  бұрышы салынды.

Егер ВD//AO жүргізсек, сөйтіп D мен О-ны жалғасақ DОM= болады. Сондықтан DОС-ның биссектрисасын жүргізсек MON теңдей болып 3-ке бөлінеді.

Кішкене бұрыштарды жуықтап 3-ке теңдей етіп бөлу үшін оның төбесін центр етіп шеңбер сызады (56, а-сурет).

АВ хорданы теңдей етіп 3-ке бөліп, ол бөліктерді бұрыш төбесіне қосады. Сонда берілген АОВ бұрышы 3-ке бөлінеді (олар жуық шамамен өзара тең болады).

Бұрышты бұлайша бөлуден гөрі дәлірек әдіспен неміс суретшісі Альбрехт Дюрер (1471-1528) ұсынған АОВ бұрышты төбесін центр етіп шеңбер мен қиып АВ доғасын алады (56-б сурет) АВ хорданы теңдей етіп 3-ке бөледі. Олар АВ=CD=BD болып С нүктеден АВ –ға перпендикуляр жүргізіп Е нүктені табады, (А, АЕ) шеңберін жүргізіп Ғ нүктесін табады: АЕ=АҒ. СҒ кесіндіні 3 теңдей бөледі: болсын. (А, АТ) шеңберін жүргізіп К нүктені табады. Сонда доға болады. бұл әдіспен сүйір бұрышты теңдей етіп 3-ке бөлгенде қате 18⁰ –тен аспайды.