Дұрыс көпбұрыштарды салу

Барлық қабырғалары өзара, барлық бұрыштары өзара тең болатын көпбұрышты дұрыс көпбұрыш дейді.

Мектепте дұрыс үшбұрыш, дұрыс төртбұрыш (квадрат), дұрыс алты және сегіз көпбұрыштар қарастырылады.

Дұрыс көпбұрышты салу есебі шеңберді теңдей бөліктерге бөлу есебімен бірдей. Шеңберді теңдей бөліктерге бөлу (дұрыс көпбұрышты салу) есептерін шешуде мына төмендегі теоремалар мен қағидаларды басшылыққа алу керек.

1⁰. Егер n натурал саны өзара жай р мен q сандарының көбейтіндісіне n=pq жіктелетін болса, онда шеңбердің теңдей n бөлікке бөліну мүмкіндігі, сол шеңбердің жеке-жеке теңдей p және q бөліктерге бөліну мүмкіндігімен бірдей.

Шынында да шеңбер теңдей n бөлікке бөлінетін болса, оны р бөліктен топтасақ теңдей q бөлік, ал q бөліктен топтасақ теңдей р бөлік шығады. Сөйтіп шеңбер теңдей р және q бөлікке бөлінеді.

Енді керісінше шеңбер теңдей р бөлікке бөлінсін және теңдей q бөлікке бөлінсін. Мынадай анықталмаған qx-py=1 (7-7) теңдеу құрайық. Р мен q өзара жай сандар болса, мұндай теңдеудің бүтін түбірлері болатыны сандар теоремасынан белгілі. Мұны n=pq –ға бөлсек

шығады. Бұдан .

Сонымен шеңбердің бөлігін шығарыа алу үшін шеңбердің х рет алынған бөлігінен, у рет алынған бөлігін шегеру керек екен.

Мысалы шеңберді 15-ке теңдей бөлгендегі, оның бөлігін табу үшін 5х-3у=1 теңдеу құрып, оның бүтін шешімін табу керек. Ол х=2, y=3 болады.

Сондықтан шеңбердің -ін табу үшін 2 рет қайталанған бөлігінен, 3 рет қайталанған бөлігін шегеру керек. Шеңбердің бөлігі 120⁰, бөлігі 72⁰. Сонда 2∙120⁰-3∙72⁰=24⁰

Сөйтіп шеңберді теңдей етіп 15 бөлікке бөлу үшін центрлік бұрышы 24⁰ болатын бұрыш салу керек.

2⁰. Енді шеңберді теңдей n-ге бөлудің алгебралық жолын қарастырайық.

z=x+iy комплекс санына декарттық координата жазықтығында координаталары (х, у) болатын z нүктесі сәйкес келеді. Бұл кезде z=x+iy комплекс санын z нүктенің аффлексі дейді.

Енді центрі Онүктесі, радиусы r болатын W(O,r) шеңбер берілсін. Сол шеңберді теңдей етіп n бөлікке бөлу керек болсын (44-сурет). Жеңілдету үшін r=1 дейік О нүктеден өзара перпендикуляр бағытта х және у өстерін жүргізейік. Ох пен шеңбердің қиылысу нүктесін А₀ дейік. Оның координаталары А(1,0) болады.

Сонда шеңберді теңдей n бөлікке бөлу

(7-8) нүктелерді салу болып табылады.

Сонда А₀ нүктеге 1 саны сай келеді

А₁ нүктеге саны сәйкес келеді.

А₂ нүктеге саны сәйкес келеді.

-----------------------------------------------------------------------

А_n-1 нүктеге саны сәйкес келеді.

Бұл сандардың барлығыда zⁿ-1=0 (7-9) теңдеудің түбірлері болатыны және ол теңдеудің бұлардан өзге түбірлерінің болмайтыны алгебрадан белгілі.

Сөйтіп шеңберді n-ге бөлу (n қабырғалы дұрыс көпбұрышты салу) есебі zⁿ-1=0 теңдеудің түбірлерін салуға тірелді.

Сондықтан циркуль мен сызғыш арқылы n-қабырғалы дұрыс көпбұрышты салу үшін zⁿ-1=0 теңдеудің түбірлері шекті рет қолданылатын негізгі рационалдық амалдар (қосу,алу, көбейту, бөлу, квадрат түбір табу) арқылы өрнектелуі қажетті және жеткілікті.

zⁿ-1=0 теңдеудің 1- ден өзге түбірлері (яғни мұны z-1-ге бөлсек) мына теңдеудің түбірлері болады.

z^n-1+z^n-2+…+z²+z+1=0 (7-10) Мұны шеңберді бөлу теңдеуі дейді.

Егер n- жай сан болса, шеңберді іштей сызылған дұрыс n-бұрышты көпбұрышты салу үшін А₀ –ден өзге тағы бір А₁ төбесін салса жеткілікті. Өйткені алгебрада 1-дің алғашқы түбірін 2,3,... дәрежеге шығару арқылы

zⁿ-1=0 теңдеуінің барлық түбірлерін табуға болады деген теорема дәлелденді. Ал, бұл геометрияда А_t төбесі табылса A₀A_t доғаны өлшеп салу арқылы n-2 қадамнан кейін барлық төбелерін анықтауға болады деген соң

Егер (*) десек онда

болады. Сонымен (7-11)

Егерде десек, соңғы екі теңдіктен болады.

Осы тендікпен (*) дан (7-12)

Сонымен алгебралық жолмен шенберді циркуль және сызғыш жәрдемімен теңдей n-бөлікке бөлудің жалпы әдісі (7-10) теңдеудің түбірлерін салуға болады ма, болса қалай деген мәселені зерттеуге тіреледі.

Мысалдар қарастырайық а) n=5 болсын. Бұл шеңберді бөлу тендеуі (7-10) мынадай болады: z⁴+z³+z²+z+1=0 (*1) бұл тендеудің қандайда бір түбірін, мысалы (*2) циркуль және сызғыш жәрдемімен салуға болар болмасын анықтайтын (*3) десек (*4) болады. z саны (*1)-ді қанағаттандырады. Сондықтан бұл мына тендеуді де (*5) қанағаттандыруы керек. Өйткені z⁵-1=0, z⁵=1 болғандықтан z^5-k=z^-k болады. Себебі болады. Сондықтан болып (*5) және (*1) тендеу мәндес болады. (*3)-ті квадраттасақ . Бұдан болатындықтан (*5) немесе (*6) түбірге келеді.

Бұл квадрат теңдеуді шешсек:

және

Циркуль және сызғыш жәрдемімен ұзындығы ге тең u₁ кесіндіні салуға болады. Сондықтан нүктені салуға болады.

Сөйтіп шеңберді циркуль және сызғыш жәрдемімен теңдей етіп 5 бөлікке бөлуге болады. Сондықтан 5 қабырғалы дұрыс көпбұрышты циркуль және сызғыш жәрдемімен салуға болады.

б) n=7 болсын. Бұл кездегі шеңберді бөлу тендеуі (7-10) мынадай z⁶+z⁵+z⁴+z³+z²+z+1=0 (*7) болады .

Мұнда z⁷=1 болатындықтан z⁶=z^7-1=z^-1, z⁵=z^7-2=z^-2, z⁴=z^7-3=z^-3 болады. Сонда (*7) мына түрге келеді z^-1+z^-2+z^-3+z³+z²+z+1=0 (*8)

Егер десек , .

Бұдан болады да (*8) тендеу мына түбірге келеді

бұдан (*9). Алгебрада мынадай теоремалар бар.

а) Аға мүшесінің коэффиценті бір, ал қалған мүшелерінің коэффициенттері бүтін сандар болатын жоғары дәрежелі алгебралық тендеудің бөлшек түбірі болмайды және бүтін түбірі болса, ол бос мүшенің бөлгіші болады. Бұдан мысалда бос мүше 1. Оның бүтін бөлгіші болмайды. 1 мен-1 ол шеңберге түбір емес. Демек (*9) рационал шешімі жоқ.

б) Коэффициеттері рационал сандар болатын үшінші дәрежелі теңдеудің рационал түбірі болмаса онда оның түбірлері квадрат радикал арқылы өрнектелмейді.

Сондықтан осы екі теорема бойынша (*9) тендеудің түбірлері квадрат радикал арқылы өрнектелмейтіндіктен, рационал түбірлері болмайтындықтан ол тендеудін түбірлерін яғни сол түбірлерге тең болатын кесінділерді циркуль және сызғыш жәрдемімен салуға болмайды. Сөйтіп шенберді теңдей етіп 7-ге бөлуге, 7 қабырғалы дұрыс көпбұрышты циркуль және сызғыш арқылы салуға болмайды.

в) Осы тұрғыдағы зерттеулерді жүргізе отырып немістің ұлы математигі К.Ф Гаусе (1777-1855) 1796 жылы дұрыс көпбұрыштың циркуль және сызғыш жәрдемімен салынуы жайлы мынадай теореманы дәлелдеді.

Гаусс теоремасы. Дұрыс n қабырғалы көпбұрыш циркуль және сызғыш жәрдемімен салыну үшін қабырға саны n былайша n=2^m P₁,P₂…P_k жіктелуі қажетті және жеткілікті. Мұндағы m оң бүтін сан не О, ал P₁,P₂…P_k өзара тең емес 2²^t+1 түрдегі жай сандар (Бұл түрдегі жай сандарды Ферма жай сандары дейді).

Теореманы дәлелсіз аламыз.

Егер n=р жай сан болса, бұл ешқандай санға жіктелмейді. Сондықтан n=p қабырғалы дұрыс көпбұрыш салыну үшін оның Ферма жай саны болуы керек (сонда m=0, К=1 болады да n=2⁰ ∙р=1∙р=р болады)

Егер t=0,1,2,3,4 болса n=2^2t+1 саны сәйкесінше 3,5,17,257,65537 болады және бұлардың барлығында жай сандар. Сондықтан циркуль және сызғыш жәрдемімен дұрыс үшбұрышты, дұрыс бес бұрышты, дұрыс он жеті, дұрыс 257, дұрыс 65537 қабырғалы көпбұрыштарды салуға болады. (Бұлар m=0, к=1 жағдайға сай келеді).

n=7,11,13 жай сандар берсек бұлар Ферма жай саны емес. Сондықтан 7,11,13 қабырғалы дұрыс көпбұрыштар циркуль және сызғыш жәрдемімен салынбайды.

Егер m=0, к=2 болса n=2⁰ Р₁∙Р₂=Р₁Р₂ болады.

Р₁ =3, Р₂ =5 десек (бұлар Ферма жай сандар және 3≠5).

Сондықтан n=Р₁Р₂ = =3∙5=15 қабырғалы дұрыс көпбұрышты циркуль және сызғышпен салуға болады.

Р₁=3, Р₂ =17 болса n=Р₁Р₂=3∙17=51 болады (3 пен 17 Ферма жай саны). Сондықтан 51 қабырғалы дұрыс көпбұрыш циркуль және сызғыш жәрдемімен салынады.

360=2³∙3⁵∙5 саны Гаусс теоремасын қанағаттандырмайды. Сондықтан шеңберді тендігі етіп циркуль және сызғышпен 360-қа бөлуге болмайды, яғни 1⁰-тық бұрышты салуға болмайды. 9 қабырғалы дұрыс көпбұрышта циркуль және сызғыш жәрдемімен салынбайды. Өйткені 9=3∙3 мұнда 3 Ферма жай саны, бірақ екеуі Р₁=3=Р₂ тең.

1-есеп. Дұрыс үшбұрыш салу (45-сурет), квадрат салу (46-сурет), дұрыс алты бұрыш салу (47-сурет) мектеп курсында қарастырылады.

45-суретте түзу бойына АС=а кесінді өлшеп салынып, (А, а) және (С,а) шенберлер жүргізілген. Олардың қиылысу нүктесі В болса АВС іздеген үшбұрыш болады. Өйткені АВ=СВ=АС=а.

46-суретте өзара перпендикуляр АС, ВD түзулері жүргізіліп, олардың бойына ОА=ОС=ОВ=ОD=в кесінділер салынып, олардың ұштары қосылған. Сонда шыққан АВСD квадрат (дұрыс төртбұрыш) болады. Себебі ∆ОАВ=∆ОВЕ=∆ОСА=∆ОDА болғандықтан АВ=ВС=СD=DА төрт төбедегі бұрыштары өзара тең (олар 90°-тан).

47-суретте АВО дұрыс үшбұрыш салынып, онын ВО, АО қабырғалары сызылып ВО=ОЕ, АО=ОD салынып ВС//ОD жүргізіліп С нүктесі табылған. СО-ны сызып СО=ОҒ салынып Ғ нүкте табылған. Сонда шыққан АВСДЕҒ дұрыс алты бұрыш болады. Себебі салу бойынша ∆АОВ=∆ЕОD және АС=АВ=ВО сондықтан бұларға ОД=ОЕ=ДЕ лерге тең. Ал, ВСДО мен АОЕҒ параллелограмм  болғандықтан АВ=ВС=СD=DЕ=ЕҒ=АҒ. Төбедегі бұрыштары -тан болады.

2-есеп. Шенберді теңдей етіп 3-ке, 4-ке, 6-ға бөлу 48-а,б,в суретте көрсетілген.

r радиусы О центрлі W (O,r) шеңбер берілген. 48-а суретте кез келген DВ диаметр (D,ВО) шеңбер сызылған. Сонда ΔАВС тең қабырғалы үшбұрыш болады. DС=DА=r, DСВ=90º болғандықтан АВ=ВС= ВС²=ВК·ВD; 3r²=ВК·2r; ВК=

Сонда АС²=3r² сөйтіп АС=АВ=ВС= . Сондықтан АВ,ВС,АС доғаларда өзара тең болады.

48-суретте Центерден АС және оған перпендикуляр ВD диаметр жүргізілген. Ол шенберді тендей етіп 4 доғаға бөледі. 48-в суретте кез келген АD диаметр және (А,АО), (D, DО) шеңбер сызылған. Олар шеңбермен В,Ғ және С,Е нүктеде қиылысса, онда АВСDЕҒ дұрыс алты бұрыш АВ=АО=АҒ=r, DЕ=DО=DЕ=r болғандықтан АОВ=60º, DОС=60º. Сондықтан ВОС=180º-(60º+60º)=60º. Демек ∆АОВ=∆ВОС сондықтан ВС=АВ, осы сияқты ЕҒ=АҒ. Сөйтіп АВ=ВС=СD=DЕ=ҒҒ=ҒА сондықтан бұл хордалар керетін доғаларда тең. Сөйтіп шеңбер теңдей 6 бөлікке бөлінді және оның хордалары шеңбердің радиусы r-ге тең.

В

В

В

С

О

А

С

O

А

D

А

С

D

D

Е

Ғ

а)

б)

в)

48-сурет

Осылайша шеңберді 3, 4, 6-ға теңдей бөлгеннен кейін, шыққан доғаларды тендей етіп 2-ге бөлу арқылы (қабырғаларды 2 еселеу арқылы) шеңберге тендей етіп 6, 12, 24, 48,…,7, 8, 16, 32, 64,… бөліктерге бөлуге болады.

3 -есеп. Шеңберді теңдей етіп 5-ке, 10-ға бөлу керек

Шешуі: О центрлі r радиусты W(О,r) шеңбер берілсін. Ол теңдей етіп 10-ға бөлінген болсын. Соның бері А₁А₂=х дейік. Онда А₁АО₂= , ал болар еді. А₂В кесінді А₁АО₂-ның биссектрисасы болсын. Онда А₁А₂В=ВА₂О=36º болады да ∆А₁А₂В~∆А₁А₂О болады. Бұдан А₁А₂:А₂В=А₁А₂, мұндағы А₁А₂=х, А₁О=r,

А₁В=А₁О-ВО=А₁О-ВА₂=А₁О-А₁А₂=r-х

бұдан х²+rх-r²=0 (*) 10 қабырғалы дұрыс көпбұрыштың қабырғасы х осы (*) теңдеудің шешімі болады екен. Оны шешсек:

Демек теңдеудің бір ғана түбірі болады және ол -ге тең болады екен. Сонымен (*) тендеудің (**) шешуін салу керек. Оны салу үшін ОА= , АВ=r болатын ОАВ тікбұрышты үшбұрыш саламыз (49-б сурет). Содан соң (О,ОА) шеңбер жүргіземіз. Сонда ВС кесінді есептің шешуі х болады. Өйткені болып (**) шығады. Осы ВС кесінді А₁ нүктеден бастап А₁А₂=ВС,А₂А₃=ВС,…өлшеп салсақ шеңбер теңдей 10-ға бөлінеді.

Сонымен r радиусты шенберді іштей сызылған 10 қабырғалы дұрыс көпбұрыштың қабырғасы (7-13) болады екен.

Дұрыс n-бұрышты көпбұрыштың қабырғасын 2 еселеу формуласы мынадай еді (7-14).

Осыдан n=5 десек (7-15) болып шығады.

Осыларды ескере отырып шенберді теңдей етіп 5-ке, 10-ға бөлінудің мынадай оңайырақ жолымен ұсынуға болады.

(О,r) шеңбер берілсін а)Оның өзара перпендикуляр АВ,СД диаметрлерін жүргізеді.

б) АО радиустың қақ ортасы Е-ні табады.

в) (Е,ЕС) шеңбер жүргізіп оның АВ диаметрмен қиылысу нүктесі К-ны табады.

Сонда ОК кесінді деп шеңберге іштей сызылған дұрыс 10 қабырғалы көпбұрыштың қабырғасы а10 болады, ал СК кесінді бұл шеңберге іштей сызылған 5 қабырғалы көпбұрыштың қабырғасы а5 болады. Сонымен а10=ОК, а5=СК.

Д әлелдеу. 

болсын (7-13)пен бірдей. Ал,

болып (7-15) пен бірдей болып шықты.

Осы кесіндіні А нүктеден өлшеп салып шеңбер теңдей болып 5-ке бөлінеді.

Шеңбер 5-ке бөлінген соң қабырғаны 2 еселеу арқылы ол шеңберді 10,20,40,… қа тендей бөлуге болады.

Ескерту. Циркуль және сызғыш жәрдемімен салынбайтын дұрыс көпбұрыштарды басқа құралдарды қосымша қолдану арқылы салуға болады.

П рактикалық жұмыстарда жуықтап салу қолданылады.

Мысалы. Шеңберді тендей етіп 7-ге бөлу үшін оның қабырғасын сол шеңберге іштей сызылған дұрыс үшбұрыштың қабырғасының жартысына жуық мөлшерде тең деп алуға болады. деп алғанда шеңберді 7-ге бөлу 51-суретте орындалған. 7-ге бөлінгеннен соң доғаны 2-ге тең бөлу арқылы шеңберді 7,14,28,56,… бөліктерге бөлуге болады.

4-есеп. Шеңберді теңдей етіп n-ге бөлу керек.

Шешуі: (О,r) шеңбер берілсін. Оны теңдей етіп n-ге бөлу үшін:

а) өзара перпендикуляр СD және АВ диаметрлерін жүргізеді (52-сурет).

б) СD диаметрді теңдей етіп n-ге (біздің мысалда 8-ге бөлінген) бөледі

в ) (D, DС) шеңберін жүргізіп оның АВ түзумен қиылысу нүктелері Е,Ғ –ті табады.

г) Е және Ғ нүктелерді СD диаметр бөлінген тақ немесе жұп нүктелерге қосып, оның берілген шеңбермен қиылысу нүктелерін табады. Сол I-VIII нүктелер арқылы шеңбер теңдігі n(=8) бөлікке бөлінеді.

5-есеп. Қабырғасы а берілген, n қабырғалы дұрыс көпбұрыш салу керек.

Салу жолы а) түзу бойына В₁В=2а кесінді өлшеп салады (53-сурет).

б) В₁В кесіндіні диаметр етіп жарты шеңбер сызады. Центрі А нүктесі.

в) жарты шеңберді теңдей етіп n-ге бөледі (бізде 6-ға бөлінген)

г) А-ны бөлу нүктелерін қосатын сәулелер жүргізеді

д) (В,а) шеңбер жүргізіп С, (С,а) шеңбер жүргізіп D нүктесін, (D,а) шеңбер жүргізіп Е, (Е,а) шеңбер жүргізіп сәуле бойынан С,D,Е,Ғ нүктелерді тауып, оларды бір-біріне тізбектей қосса АВСDЕҒ дұрыс n(=6) қабырғалы көпбұрыш шығады.

Бұл әдіспен жарты шеңберді циркуль және сызғыш жәрдемімен n-ге бөлуге болатын n қабырғалы дұрыс көпбұрыштарды салуға болады.

Мысалы жарты шеңберді циркуль және сызғыш жәрдемімен 7-ге, 9-ға бөлуге болмайды. Сондықтан n=7, n=9 қабырғалы көпбұрышты әдіспен салуға болмайды.