Қайталау сұрақтары

1. Біртекті өрнек деген не?

2. Қандай жағдайда формула бір кесіндінің ұзындығын анықтайды?

3. Мына формуламен берілген кесінділерді салу жолы қандай

4. Салу есебін шешудегі алгебралық тәсілдің мәні қандай?

Әдебиеттер

1. Рахымбек Д., Мадияров Н.К., Сейтжанова К.Б. Геометриялық салу есептері: Оқу құралы. Шымкент, «Нұрлы бейне», 2013. -287 бет

2. 1) Шыныбеков Ә.Н. Геометрия. Жалпы білім беретін мектептің 7-сыныбына арналған оқулық. Алматы, “Атамұра”, 2003. 2) Геометрия 8, 2004. 3) Геометрия 9, 2005

3. Погорелов А.В. Геометрия: Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 7-11 сыныптарына арналған оқулық. – 2-басылымы. Алматы: Просвещение-Қазақстан, 2003, 152 б.

13-дәріс. Квадрат теңдеу түбірлерін салу. Дұрыс көпбұрыштарды салу.

1. (7-3) квадрат теңдеу берілсін. Мұндағы а, в кесінді ұзындықтары, сондықтан а>0, в>0 болады.

Теңдеуді шешсек. (7-3а)

Түбірден -ден кіші сан шығады. Сондықтан бұл кезде болады. Бірақ кесінді ұзындығы теріс сан болмайды. Демек (7-3) түрдегі квадрат теңдеудің оң шешімі болмайды.

Сондықтан ол теңдеудің түбірлерін салуға болмайды.

2. (7-4) квадрат теңдеу берілсін. Оның шешімі:

(7-4а)

б ұл кезде де түбір астынан ден аз сан шығады да болады.

а) Ал, түбір шығу үшін болу керек. Екі түбірі болады. Демек екі шешімі болады.

б) Егер а=2в болса, х₁=х₂= болады. Түбір біреу-ақ болады. Сондықтан бір шешімі болады.

в) а<2в болса, х₁,х₂ - Комплекс сандар болады да, теңдеудің нақты шешімі болмайды.

Енді осы түбірлерді циркуль және сызғыш жәрдемімен салу жолын қарастырайық.

1⁰ Катеті СВ=в, гипотенузасы АВ= болатын АСВ тікбұрышты үшбұрыш саламыз (86-сурет)

2⁰ W(А,АС) шеңбер саламыз

3⁰ W(А,АС) шеңбер мен АВ гипотенуза жатқан АВ түзуінің қиылысу нүктелері Е мен D–ны белгілейміз. Сонда сурет бойынша ВD=ВА+АD=ВА+АС=ВА+

Сонымен квадрат теңдеудің түбірлері х₁=ВD, х₂=ВЕ болады екен. Сөйтіп ВD, ВЕ кесінділердің ұзындықтары (7-4) квадрат теңдеудің түбірлері болады.

3. (7-5) квадрат теңдеуі берілсін. Оның шешуі (7-5а)

Бұл жағдайда болады. Демек теңдеудің бір шешімі болады, ол х₁. Оны салу үшін (86-сурет) деп алайық. Сонда болады. Сөйтіп бұл кезде (7-5) теңдеудің түбірі ВЕ кесіндісі болады.

4. (7-6) квадрат теңдеуі берілсін.

Шешсек .

Бұдан теңдеудің бір шешімі болады, ол х₁. 42-суретте десек болады. Сонымен бұл кезде ВD кесіндінің ұзындығы (7-6) квадрат теңдеудің түбірі болады.

3-есеп. Берілген шеңберге бүйір қабырғасы мен табанына жүргізілген биіктігінің қосындысы бойынша тең бүйірлі үшбұрыш салу керек.

Талдау. Берілген шеңберді W дейік. Ол берілгендіктен центрі, радиусы белгілі. Центрін О, радиусын r дейік. Оны іштей тең бүйірлі ∆АВС салынған дейік. Бұл үшбұрышта AB=BC, AB+BD=m BD –ны тапсақ ∆АВС салынады. BD=х дейік. Онда АB=m-x болады.

AD²=BD∙DE=x(2r-x)

AB²=AD²+BD², (m-x)²=x(2r-x)²+x²

m²-2mx+x²=2rx-x²+x², x²-2(m+r)x+m²=0

Осының шешімі ВD болады. Бұдан х₁>0, x₂>0 болады. Сол түбірлерді салайық.

Салу. а) О нүктеден сәуле жүргізіп, оның шеңбермен қиылысу нүктесін В дейік. Оның бойына ВК=m саламыз. Сонда ОК=r+m болады.

б) ОК-ны диаметр етіп W₁ шеңберін саламыз.

в) К-ны центр етіп КВ=m радиуспен W₂ шеңберін саламыз.

г) W₁∩ W₂=ℓ дейік. Сонда

д) О-ны центр, OL-ді радиус етіп W₃ шеңберін саламыз. Ол КD түзуімен N,M нүктелерде қиылыссын.

Сонда

Сонымен біз іздеген ВD кесінді КМ және КN болады екен. Егер ВЕ диаметрге ВD=KM кесіндіні өлшеп салып, D нүктеден ВЕ –ге перпендикуляр жүргізсек ∆АВС шығады және АD=DС болғандықтан АВ=ВС болады. АВ+ВD=m болады.

Дәлелдеу. Салу бойынша

. Сөйтіп ВМ=AB.

Ал, салу бойынша BM+MK=m еді. Демек AB+MK=m, AB+BD=m. Ал, АСВЕ болғандықтан АD=DC. Демек салынған ∆АВС есеп шартын қанағаттандырады.

Зерттеу. Үшбұрыш r радиусты шеңберге іштей сызылу үшін, оның қабырғалары диаметрден үлкен болмау керек яғни x<2r болу керек. Бізде x₁<2r, x₂>2r Сондықтан квадрат теңдеудің екінші түбірі есеп шартын қанағаттандырмайды. Демек есептің тек бір шешімі болады.

4-есеп. Шеңбер және одан тыс жатқан А нүктесі берілген А нүктеден шеңберге оның сыртында жатқан бөлігі ішінде жатқан бөлігінен 2 есе ұзын болатын қиюшы жүргізіңдер.

Талдау. Шеңбер мен А нүктесі берілгендіктен шеңбер центрі О, радиусы r және А₀ қашықтықтар белгілі (43-сурет). АВ-тапсақ В нүктесі, АВ түзуін жүргізу арқылы С нүктесі белгілі болады.

АB=x десек, шарт бойынша АD=a, шеңбер радиусы r дейік. Сонда AB∙AC=AD∙AE болады .

Бұдан

С онда кесінділерді салсақ АВ=x кесінді табылады. W₁(A,x) шеңбер жүргіземіз. Ол шеңберді В нүктеде қиса іздеген қиюшы АВС болады.

Дәлелдеу. 87-сурет бойынша АВ=AD(AD+2r)

Сөйтіп болып шықты.

Есептің екі шешімі болады. Егер W мен W₁ шеңбер екі нүктеде қиылысса бір шешімі болады, егер олар жанасса.