Қарапайым формуламен берілген кесінділерді салу

Формула арқылы берілген кесіндіні циркуль және сызғыш жәрдемімен, егер ол кесіндінің ұзындығы берілген кесінділердің ұзындықтары арқылы санды рациональдық амалдармен (қосу, алу, көбейту, бөлу, арифметикалық квадрат түбір табу) және рационал сандармен өрнектеуге болатын жағдайда ғана салуға болады.

Мектеп геометрия курсында циркуль және сызғыш жәрдемімен төмендегі формулалармен берілген кесінділер жолы қарастырылады.

1⁰ х=а±в Түзу бойына а кесіндіні, оның келген жерінен в кесіндіні өлшеп салады.

2⁰ х=а:m Мұндағы m, n сандар, а- кесінді. Оны алдымен mа (m рет а кесіндіні салу) кесіндіні салу, содан соң оны n- ге бөлу жолымен салады.

3⁰ х (мұндағы а кесінді, m- сан). АК=а кесінді m(m=5)- ге бөлу үшін АК мен кез келген бұрыш жасайтын в түзуін жүргізіп оның бойына кез келген t кесіндіні m рет өлшеп салып, табылған 1,2,3,4,5, ..., m нүктелерінің соңғысын В-ға қосып, қалған бөлу нүктелерінен mB-ға параллель түзулер жүргізеді. Сонда АА₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄В болады (35-сурет).

4⁰ х= . Салу жолы 36-суретте көрсетілген, с:а=в:х, х= . Мұнда ВЕСD.

5⁰ Салу жолы 37-суретте көрсетілген. АВ=а+в диаметр болатын шеңбер сызылып АВСD жүргізілген. Сонда СD=х болады (мұнда АС=а, СВ=в, а:х=х:с).

6⁰ Салу жолы 38-суретте берілген СА=а, СВ=в және АС СВ. АВ=х болады АВ²=АС²+СВ²

7⁰ Салу жолы 39-суретте берілген. Шеңбер диаметрі АВ=а, катет АС=в, СВ=х. Сонда ВС²=АВ²-АС² болады.

Басқа формуламен берілген кесінділерді салу жолын осы формулаларға келтіруге болады.

1-мысал. х =а (п–натурал сан, а-кесінді). Егер болып жіктеме деуге болады. Бұл 50 салу.

Егер болса болады. Бұл 60 салу.

2-мысал. . Алдымен кесіндіні салады. Содан соң кесіндіні салады (бұлар 4⁰ салулар).

3-мысал. болса болады. Сонда кесінді. Содан сан кесінді салынады. Бұлар 6⁰, 7⁰, 5⁰ салулар.

4-мысал. болса, алдымен . Содан соң салынады. Сонда шығады саламыз. Одан сан салып, ең соңындa салынады.

5-мысал. Өлшем бірлігі ℓ болған кездегі ұзындығы санға тең х кесіндісін салу керек. Мұны жуықтап тауып, оны 5-ке қосып, шыққан санның жуықтап квадрат түбірін тауып, ℓ бірлік өлшемді сонша рет қайталап салу арқылы есепті жуықтан шешуге болады.

Кесіндіні дәл былайша салуға болады. деуге болатындықтан кесінділерді тізбектеп саламыз.

6-мысал. бұл өрнек 1-дәрежелі берітекті өрнек сондықтан мұныда циркуль және сызғыш жәрдемімен салуға болады. Мұны былайша түрлендіріп жазуға болады.

сонда

кесінділерді тізбектей саламыз.

Салу есебінің берілген элементтерінің ішінде кейбір нүктелер, сондай-ақ кесінділер, бұрыштар және олардың қатынастары болуы мүмкін. Берілген бұрышты үш кесіндінің берілуімен — бұрышы берілген бұрышқа тең үшбұрыштың қабырғаларымен алмастыруға болады. Бұрыштардың берілген қатынасын екі кесіндінің қатынасымен алмастыруға болады.

Сонымен, берілген барлық элементтерді берілген а, в,.., ℓ кесінділеріне келтіруге болады.

Осылайша іздеп отырған элементтерді де белгілі х, у, ..., кесінділері аркылы өрнектеуге болады. Белгісіз кесінділерді белгілі кесінділер арқылы табу шешуі алгебралық формулалармен өрнектелетін теңдеулерге келтіріледі, яғни салу есебін шешу формуламен өрнектелген кесінділерді салуға келтіріледі.

1-есеп. АВС үшбұрышы берілген. Оның табанына, бұл үшбұрыш ауданынан ауданы 2 есе кіші болатын үшбұрыш қиятындай етіп, параллель түзу жүргізу керек.

Талдау. Есеп шешілген іздеген түзу жүргізілген болсын (40-сурет). Ол бүйір қабырғалар мен А₁,С₁ нүктелерде қиылысын.

Сонда болсын.

түзуі салынады, егер ВА₁ кесінді салынса, ВА₁=х дейік.

Сонда  болғандықтан болу керек. Бұдан (*) х-тің саламыз.

С алу. а) , мұндағы в⁰ салу бойынша х₁ салынады.

б) х₁ кесіндіні қақ бөліп х-ні табамыз.

в) ВА сәулесіне ВА₁=х кесіндіні өлшеп саламыз.

г) А₁ нүктеден АС-ға параллель жүргізіп оның ВС мен қиылысу нүктесі А₁-ді салсақ, іздеген түзуі – А₁С₁ түзуі шығады.

Дәлелдеу. Салу бойынша . Сондықтан 

Өлшеп салуымыз бойынша Үшбұрыштардың ұқсастығынан . Демек, іздеген түзу болады.

Зерттеу. Барлық жоғарыда орындалған салулар бір мәнді орындалады. Сондықтан есептің бір ғана шешімі болады.

2-есеп. Берілген екі нүктеден өтетін және берілген түзуге жанасатып шеңбер салу керек.

Талдау. А мен В нүктелер түзуі берілген (41-сурет). Есеп шешілген іздеген шеңбер W₁ салынған дейін. Онда бұл шеңбер А₁В нүктелерден өту керек және түзуіне оның бір нүктесінде (мысалы Е нүктеде) жанасу керек. Сол жанасу нүктесі Е салынса онда центр О табылады. Ал, Е табылады егерде АВ_ = D мен Е-ні қосатын DЕ кесінді табылса. Сонымен есепті шешу DЕ кесіндісін салуға тірелді.

Қиюшы мен жанаманың қасиетті бойынша DЕ²=DВDА болады. Ал, түзуі, А мен В нүктелері салынып қойылғандықтан DВ=в, DА=а кескінділер белгілі. Сонымен DЕ²=ав формула бойынша DЕ-ні салуға болады.

Салу. а) АВ = D нүктесін саламыз.

б) DВDА= DЕ², ав= DЕ²=х² бойынша DЕ=х кесіндіні табамыз.

в) D нүктесінен түзуі бойына DЕ=х кесіндіні өлшеп салып Е және Е₁ нүктелерді табамыз.

г) Е нүктесін түзуге перпендикуляр яғни ℓ₁ түзуін жүргіземіз.

д) АВ кесіндінің қақ ортасы Т нүктені тауып сол нүктеден АВ-ға перпендикуляр етіп ₂ түзуін жүргіземіз.

е) _{1 2} =0 іздеген центр болады.

ж) О центрлі ОА радиусты W₁(О,ОА) шеңбер жүргіземіз. Сол іздеген шеңбер болады.

Дәлелдеу. W₁ шеңберді ОА радиуспен сызғандықтан және О нүкте ₂ түзуде жататындықтан (яғни АТ=ТВ болғандықтан) Ол А нүктесінде, В нүктесінде басып өтеді.

Салу бойынша DЕ²= DВ DА болғандықтан DЕ түзуі А мен В -дан өтетін шеңберге жанама болады. Сөйтіп W₁ шеңбер мен шартын қанағаттандырады. Демек іздеген шеңбер болады.

Зерттеу. DЕ² =АВАD –ны D нүктеден өлшеп салу екі жолмен іске асады Е және Е₁ нүкте шығады. Егер Е₁ ден -ға перпендикуляр түзу жүргізіп оның ₂ мен қиылысу нүктесі О₁-ді тауып, W₂(О₁,О,А) шеңбер жүргізссе бұл шеңберде есеп шартын қанағаттандырады. Сондықтан есептің екі шешімі болады.

Егер А мен В нүктелердің екеуінде түзуінде жатса немесе екеуі түзудің екі жағында жатса, есептің шешімі болмайды. Егер екі нүктенің түзуде біреуі жатса, онда есептің бір шешімі болады. Ол шеңбердің центрі, егер А жатса, -ға А нүктеде жүргізілген перпендикулярмен АВ кесіндінің қақ ортасынан жүргізілген перепендикулярдың қиылысу нүктесі болады.