Инвертті фигураларды салу жолдары

Берілген инверсия шеңберіне қарағанда берілген нүктеге инвертті нүктені салу жолдарын білеміз. Енді түзуге, шеңберге инвертті болатын фигураны салу жолдарын қарастырамыз.

1-салу. Инверсия І(О,r) шеңбермен берілген. Осы шеңберге қарағанда берілген а түзуіне инвертті фигураны салу керек.

Шешуі. а) Егер түзу инверсия центрінен өтсе онда оның бойынан, алынған кез келген М нүктеге инвертті болатын М^/ нүктеде сол түзудің бойында жатады.

Өйткені М-ге инвертті нүкте ОМ сәуледе жатуы керек. Сондықтан центрден өтетін түзу өзіне-өзі инвертті болады және түзудің шеңбердің ішінде жатқан нүктелері шеңбердің сыртында жатқан нүктелерге және керісінше бейнеленеді.

б) берілген а түзуі инверсия шеңберінің центрінен өтпесін.

1-жағдай. а түзу І шеңбермен қиылыспасын (62-сурет) оған инвертті фигураны салу үшін:

1-ден, Инверсия центрі О нүктеден а түзуіне перпендикуляр түсіреді, оның табаны М нүктесі болсын.

2-ден, М нүктеге инвертті М^/ нүктесін салады (ОТ жанама жүргізіп, жанасу нүктесі Т дан ОМ-ге  Т М^/ жүргізеді).

3-ден, Диаметрі ОМ^/ болатын шеңбер сызады. Осы шеңбер 1-теорема бойынша берілген а түзуіне инвертті фигура болады.

2-жағдай. Берілген а түзуі І инверсия шеңберіне жанама болсын, жанасу нүктесі М дейік.

Бұл кезде М-ге инвертті нүкте М-нің осі болады да а түзуіне инвертті фигура ОМ диаметрі болатын (яғни І шеңберге М нүктеде іштей жанасатын) шеңбер болады.

3-жағдай. Берілген а түзу инверсия шеңбері І –ды А және В екі нүктеде қисын.

Бұл кезде А өзіне-өзі, В нүкте өзіне-өзі инвертті болады және түзу центрден өтпейтіндіктен оның бейнесі болатын шеңбер О нүктеден өту керек. Сондықтан инверсия шеңберін А,В нүктеде қиатын түзуге А,В,О үш нүктеден өтетін шеңбер инвертті болады.

2-салу. Инверсия І(О,r) шеңбермен берілген. Осы шеңберге қарағанда берілген W₁(О₁, r₁) шеңберге инвертті фигураны салу керек.

Шешуі. 1-жағдай. Берілген W₁(О₁, r₁) шеңбер инверсия шеңбері І(О,r) мен қиылыспасын (31-а сурет).

Бұл кезде: 1. ОО₁ түзуін жүргізіп, оның берілген W₁ шеңбермен қиылысу нүктелері А мен В ны табады.

2. А және В нүктелеріне инвертті нүктелер А^' пен В' салады.

3. Сонда диаметрі А^' В' болатын W₂(O_2,r₂) шеңбер берілген W₁(O_1,r₁)

шеңберге инвертті шеңбер болады.

2-жағдай. W₁(O_1,r₁) шеңбер инверсия шеңберіне жанасатын болсын (31-б сурет). Бұл кезде жанасу нүктесі А өзіне-өзі инвертті болады.

1. ОО₁ түзуін жүргізіп жанасу А және қиылысу В нүктесін анықтайды.

2. В нүктеге инвертті В^/ нүктені салады.

3. Сонда В^/А диаметрі болатын W₂(O_2,r₂) шеңбер берілген W₁(O_1,r₁) шеңберге инвертті фигура болады.

3-жағдай. Берілген W₁(O₁, r₁) шеңбер инверсия шеңбері І(О,r)–мен концентрлі болсын (31-в сурет).

Онда 1. О нүктеден кез келген а түзуін жүргізеді.

2. а түзу мен W₁ шеңбердің қиылысу нүктесі А-ны табады.

3. А нүктеге инвертті А^/ нүктесін салады.

Сонда берілген W₁(O_1,r₁) шеңберге радиусы ОА^/ центрі О болатын W₂(O₁ОА^/) шеңбер инвертті шеңбер болады.

4-жағдай. Берілген W₁(O_1,r₁) шеңбер инверсия центрінен өтсін (31-г сурет)

Бұл кезде: 1. ОО₁ түзуі мен инверсия шеңберінің қиылысу нүктесі В-ны табады.

2. Табылған В нүктеге инвертті В^/ нүктені табады.

3. В^/ нүктеден ОО₁ түзуіне перпендикуляр етіп а түзуін жүргізеді.

Сонда центрден өтетін W₁ шеңберді4 бейнесі, 2-теорема бойынша центрден өтпейтін ОО₁-ге перпендикуляр болатын а түзуі болады.

5-жағдай. Инверсия центрінен өтпейтін онымен екі нүктеде қиылысатын W₁(O₁, r₁) шеңбер берілсін (31-д сурет)

Егер шеңберлер А және В нүктеде қиылысса, онда W₁ шеңберге инвертті фигура сол қиылысу нүктелерінен өтетін шеңбер болады.

1. ОО₁ түзуін жүргізіп, W₁ шеңбердің  диаметрі қарама-қарсы СD нүктелерін табады. 2. С₁D нүктелерінің инвертті нүктелері С₁¹, D₁ -ті табады.

Сонда А₁В₁С₁^/, D^/ төрт нүктенің үшеуінен өтетін шеңбер іздеген W₂ шеңбер болады, яғни D^/С^/ диаметрі болатын шеңбер болады.