Гомотетиялы фигураларды салу

1. Гомотетия S центрі және сәйкес А мен А' қос нүктемен берілген (28-сурет). Берілген М нүктесіне гомотетиялы нүкте салу керек.

Шешуі. Мына салуларды ретімен орындайық: 1) МА түзуін, 2) SМ түзуін, 3) 1//МА, ; 4) l мен SМ түзулерінің киылысу M' нүктесін белгілейміз, яғни М' = l SM. М' — іздеп отырған нүктеміз.

Қайталау сұрақтары

1. Салу есептерін шығарудағы ұқсас түрлендіру әдісінің мәнін түсіндіріңдер.

2. Гомотетия сәйкес А мен А' және В мен В' екі қос нүктелерімен берілген. Мұнда АВ//А'В' және АВ А'В'. М нүктесіне гомотетиялы нүкте салу керек. Қалай орындалады, жауабын түсіндіріңдер.

3. Гомотетия S центрі мен к= коэффициентімен берілген, мұндағы р мен q берілген кесінділер. М нүктесіне гомотетиялы нүкте салу керек.

4. Гомотетия S центрі және к= коэффициентімен берілген. Берілген АВСD төртбұрышына гомотетиялы фигура салу керек.

5. Гомотетия S центрі және А мен А' (S АА') сәйкес қос нүктелермен берілген. Берілген шеңберге гомотетиялы фигура салу керек.

Әдебиеттер

1. Рахымбек Д., Мадияров Н.К., Сейтжанова К.Б. Геометриялық салу есептері: Оқу құралы. Шымкент, «Нұрлы бейне», 2013. -287 бет

2. 1) Шыныбеков Ә.Н. Геометрия. Жалпы білім беретін мектептің 7-сыныбына арналған оқулық. Алматы, “Атамұра”, 2003. 2) Геометрия 8, 2004. 3) Геометрия 9, 2005

3. Погорелов А.В. Геометрия: Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 7-11 сыныптарына арналған оқулық. – 2-басылымы. Алматы: Просвещение-Қазақстан, 2003, 152 б.

11-дәріс. Инверсия және оны салу есептерін шешуге қолдану. Инверсия және оның қасиеттері. Инвертті фигураларды салу жолдары. Салу есептерін инверсия жәрдемімен шешу

І. Инверсия анықтамасы. Жазықтықта О центрлі, r радиусты I(о,r) шеңбер сайлап алынсын. Жазықтықтың, О нүктеден өзге, әрбір М нүктесіне сол жазықтықтан ОМ сәуледе жататын және ОМ·ОМ^/=r² (6-1) болатын М^/ нүктесін сәйкестендірейік. Бұл сәйкестік жазықтықта өзара бірмәнді түрлендіру болады. Бұл түрлендіруді I(О,r) шеңберге қарағандағы инверсия немесе жай ғана инверсия дейді.

I(О,r)-инверсия шеңбері О инверсия центрі. r² инверсия дәрежесі делінеді. М^/ нүктені М нүктеге инвертті нүкте дейді. ОМ·ОМ^/=r² -тан ОМ^/·ОМ=r² болатындықтан М нүкте М^/ ке инвертті болса, М^/-тен М-ге инвертті болатыны, яғни инверсия өзара қайтымды сәйкестік болатыны шығады.

І І. Инверсия шеңбері үшін О мен r тұрақты (өзгермейтін) болғандықтан (6-1)–ден инверсия шеңберінің ішкі бөлігін құрайтын нүктелер шеңбердің сыртқы нүктелеріне, ал сыртқы нүктелер ішкі нүктелерге бейнеленетіні, шеңбер бойындағы нүктелер өзіне-өзі инвертті болатыны шығады.

I(О,r) инверсия шеңбері және одан тыс (сыртында) жатқан М нүктесі берілсе. Ол нүктеден шеңберге МТ₁, МТ₂ екі жанама жүргізуге болады. Т₁ және Т₂ нүктелер ОМ-диаметрі болатын W(O₁,O₁M) шеңбермен I(О,r) шеңбердің қиылысу нүктесі болады (29-сурет). Сондықтан ОМТ₁Т₂ болады.

ОТ₁Т₁М болатындықтан ОТ₁М тікбұрышты үшбұрыш болады. Т₁М₁ оның гипотенузасына түсірілген биіктігі болғандықтан ОМ^/·ОМ= О r² болады. Мұны (6-1) мен салыстырсақ М нүктеге М^/ нүкте және керісінше М^/ нүктеге М нүкте инвертті болатыны шығады. Бұдан берілген нүктеге инвертті нүктені салу жолы шығады.

Шеңберден тыс жатқан М нүктеге инвертті М^/ нүктені былайша салады.

1º ОМ сәулесін жүргізеді.

2º М нүктеден шеңберге ОТ жанама жүргізеді.

3º Жанасу нүктесі Т-дан ОМ-ға  жүргізіп, оның табаны М^/ нүктені табады.

Сол М^/ нүкте берілген М нүктеге инвертті нүкте болады. Егер М шеңбер бойында жатса, оған инвертті М нүктені табу үшін

1-ден, ОМ^/ сәулесін жүргізеді.

2-ден, М^/ нүктеден ОМ^/ сәулеге  тұрғызып, оның шеңбермен қиылысу нүктесі Т-ны табады.

3-ден, Т нүктеден ОТ радиуске перпендикуляр (яғни І шеңберге Т нүктеден жанама) жүргізіп, оның ОМ^/ сәулемен қиылысу нүктесі М–ді табады. Сол берілген М^/ -ке инвертті нүкте болады.

ІІІ. Инверсияның аналитикалық өрнегін табу үшін координата жүйесінің басы үшін инверсия центрі О нүктесін аламыз. Сонда бұл координата жүйесіндегі О(о,о) болады. М(х,у) нүкте берілсін оған инвертті нүкте координаты М'(х',у') дейік.

Сонда мен векторлар коллинеар болатындықтан =λ болады. Бұдан координаға көшсек х'=λx, у'=λy болып, векторлардың скаляр көбейтіндісіндісі ·λ =xх'+yу'=r² болады. Бұдан xλх+yλу=r² болатындықтан λ= болады да, х^'= ; y^'= (6-2)

Инверсия өзара қайтымды сәйкестік болатындықтан (6-2) ден

x= , y= , (6-3) болады.

Бұл (6-2), (6-3) формулалар инверсиясының аналитикалық өрнегі болады.

Ескерту. Инверсия центріне инвертті нүкте болмайды. Егер евклидтік жазықтық кеңейтілген жазықтық болса, онда центрге инвертті нүкте жазықтықтың меншіксіз нүктесі болады.

1-теорема. І(О,r) шеңбер мен инверсия берілсін. Инверсия центрінен өтпейтін түзу инверсия центрінен өтетін шеңберге, ал центрден өтетін түзу өзіне-өзі бейнеленеді.

Дәлелдеу. а) а-түзуі центрден өтпейтін болсын (30-сурет) және ол түзудің алынған координата жүйесіндегі теңдеу Ах+Ву+С=0 (1*) болсын. Мұның І(О,r) инверсиядағы бейнесін табу үшін (х,у)-ті (38-3) пен анықталатын (х',у')-пен алмастыру керек. Сонда + +C=0 немесе + +С( )=0 (2*) Мұны былайша түрлендірсек (х^’+ )²+(y^’+ )²= (3*)

Ал, бұл центрі О( ), радиусы R= болатын шеңбердің теңдеуі және бұл теңдеуді инверсия шеңберінің центрінің координаталары (О,О) қанағаттандырады. Сондықтан центрден өтпейтін түзуге центрден өтетін шеңбер инвертті болады екен.

Берілген а түзудің бағыттаушы векторы ал ОО₁ түзуінің бағыттаушы векторы өзара ортоганал. Өйткені олардың скаляр көбейтіндісі болады.

Демек а түзуі инверсия шеңбері І мен салынған W шеңбердің центрлерін қосатын ОО₁ түзуіне перпендикуляр болады екен, яғни ОО₁ а.

б) Берілген а түзуі І(О,r) инверсия шеңберінің центрінен өтсін. Онда ол түзудің (1*) теңдеуіндегі С=О болады да оның бейнесі (2*) мына түрге келеді. + =0, + =0. Бұл Ах+Ву=0 теңдеуімен бірдей. Сондықтан инверсия центрінен өтетін түзу өзіне–өзі бейнеленеді.

2-теорема. І(О,r) шеңбермен берілген инверсияда инверсия центрінен өтпейтін шеңбердің бейнесі центрден өтпейтін шеңбер болады және О нүкте бұл шеңберлердің центрлер сызығында жатады, ал центрден өтетін шеңбер бейнесі центрден өтпейтін түзу болады.

Дәлелдеу. Инверсия шеңбері І(О,r) болсын. W₁(О₁,r₁) шеңберді қарастырайық. Бұл шеңбердің теңдеуі + + Ах+Ву=0 (4*) болсын.

Мұны былайша түрлендірейік (х+ )²+(у+ )²= (5*)

Ал, бұл центрі О₁( ), радиусы = болатын шеңбер.

Мұндағы (х,у)-ты (6-3) бойынша (х^/,у^/) пен ауыстырсақ W₁(О₁,r₁) шеңбердің бейнесі болатын W₂ фигураның теңдеуін аламыз.

ықшамдасақ,

Мұны түрлендірсек

Ал, бұл центрі О₂( ), радиусы R₂= болатын W₂ шеңберді анықтайды. Бұл теңдеуді инверсия центрінен координаталары (О,О) қанағаттандырмайды. Сондықтан W₂ инверсия центрінен өтпейтін шеңбер. Инверсия центрі О(о,о), берілген W₁ шеңбердің центрі О₁( ), бұл W₁ шеңбердің бейнесі W₂ шеңбердің центрі О₂( ) болғандықтан , векторлардың координаталары пропорционал.

Сондықтан олар коллинеар болады. Демек О,О₁, О₂ нүктелер бір түзудің бойында жатады.

Егер берілген W₁ шеңбер инверсия центрінен өтетін шеңбер болса, онда оның теңдеуіндегі С=0 болады да оның бейнесінің теңдеуі (6*) мына түрге келеді. + + =0 немесе Ах^/+Ву^/+r²=0, ал бұл центрден өтпейтін түзу теңдеуі (бос мүше бар). Мұның бағыттауыш векторы векторлардың скаляр көбейтіндісі · =0 болғандықтан О,О₁,О₂ нүктелерден өтетін түзу а^/ түзуіне перпендикуляр болады.

3-теорема. Егер W₁-шеңбер не түзу болсын, ол W₂ шеңберге инверсия центрінен басқа М нүктеде жанама, онда бұл инверсиядағы олардың бейнелері фигуралар М-нің бейнесі М^/ нүктеде жанасады.

Өйткені W₁ мен W₂ фигуралар М нүктеде жанасса, онда М^/ нүкте бейнелерге ортақ жалғыз-ақ нүкте болады. Демек олар М^/ нүктеде жанасады.

4-теорема. W_1, W₂ сызықтардың (олар шектер, түзу болуы мүмкін) М нүктедгі олар арасындағы бұрышы мен бұл сызықтардың бейнелері тен М-нің бейнесі М^/ нүктедегі олар арасындағы бұрышы тең болады. (Жанасу нүктесіндегі сызықтар арасындағы бұрыш нөлге тең болады).