Қайталау сұрақтары

1. Қандай жағдайда салу есебін шешуге бұру қолданады?

2. Бұру әдісінің мәні қандай?

3. Бұру әдісінің салу есептерін шығарудағы тиімділігін қалай түсіндіруге болады?

Әдебиеттер

1. Рахымбек Д., Мадияров Н.К., Сейтжанова К.Б. Геометриялық салу есептері: Оқу құралы. Шымкент, «Нұрлы бейне», 2013. -287 бет

2. 1) Шыныбеков Ә.Н. Геометрия. Жалпы білім беретін мектептің 7-сыныбына арналған оқулық. Алматы, “Атамұра”, 2003. 2) Геометрия 8, 2004. 3) Геометрия 9, 2005

3. Погорелов А.В. Геометрия: Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 7-11 сыныптарына арналған оқулық. – 2-басылымы. Алматы: Просвещение-Қазақстан, 2003, 152 б.

9-10 дәрістер. Салу есептерін шешудегі ұқсас түрлендіру әдісі. Гомотетиялы фигураларды салу

Салу есептерін шешуге ұқсас түрлендіру әсіресе гомотетияның қасиеттерін пайдалану көп кездеседі. Салу есептерін талдау барысында, келесі бір түрлендіруді пайдаланса салынбақ фигура Ғ шығатын басқа бір Ғ₁ фигураны оңай салуға болатынын байқауға болады. Бұл әсіресе есеп шартына тек бір ғана кесінді енген кезде көп кездеседі. Осындай жағдайларда ұқсас түрлендіруді (гомотетияны) қолдану нәтижелі болады.

Ұқсас түрлендіру әдісінің мәні мынадай. Алдымен іздеген Ғ фигураға ұқсас есепте берілген шарттардың тек біреуінен басқасын теке қанағаттандыратын Ғ₁ фигураны салады. Содан соң есептін қалған бір шартын қанағаттандыратын және салынған Ғ₁ фигураға ұқсас фигура ретінде іздеген фигура Ғ салынады. Салынған аралық Ғ₁ фигураны берілген Ғ фигураға гоматетиялы етіп салған дұрыс болады.

Бұл әдісті пайдаланғанда мыналарды ескеру керек.

1. Егер екі фигура ұқсас болса, онда ұқсастық коэффиценті ол фигуралардың кез-келген сәйкес кесінділерінің қатынасына тең болады.

1. Егер а,в,с,... және а₁,в₁,с₁,... ұқсас фигуралардың сәйкес кесінділері болса, онда ұқсастық коэффицент үшін .т.б. қатынастарды алуға болады.

Мысалдар қарастырайық.

-есеп. Гомотетия S центрі және сәйкес А мен А' қос нүктемен берілген (67 33-сурет). Берілген М нүктесіне гомотетиялы нүкте салу керек.

Шешуі. Мыналарды ретімен салайық: 1) МА түзуін, 2) SМ түзуін, 3) l||МА, ; 4) l мен SМ түзулерінің киылысу M' нүктесін белгілейміз, яғни М' = l SM. М' — іздеп отырған нүктеміз.

3-мысал. Берілген екі шеңберге ортақ жанама салу керек.

Ш ешуі. Біз мұнда толық талдау мен зерттеудің нұсқасын келтіреміз. Ал есептің шешуін толық жазып орындауды оқушылардың өздеріне тапсырамыз. Айталық, радиустары әр түрлі (2 сурет) екі шеңбер берілсін. Бұл шеңберлер гомотетиялы және гомотетия центрі түзуінде жатады. Егер бірінші шеңберден ОА радиусын алсақ, онда онымен гомотетиялы радиусы шартын қанағаттандырады. Егер түзуін жүргізсек, онда ол түзуімен Р гомотетия центрінде қиылысады. Екіншіден, РВ және РК шеңберге ортақ жанамалар болса, онда РВО және РКО тік бұрышты үшбұрыштар және олар өзара тең болады. Онда Р, В, О, К нүктелері бір шеңбердің центрі РО гипотенузасының ортасында орналасқан С нүктесінде болып табылады. Сонымен, егер центрі С нүктесінде радиусы СР-ға тең шеңбер сызсақ, онда бұл шеңбер берілген шеңберді (центрі О болатын шеңберді) В және К нүктелерінде қиып өтеді. Онда РВ және РК түзулері шеңбердің ортақ жанамалары.

Осы сияқты, радиусын диаметрге толықтыратын нүктесін алсақ, онда А және нүктелері кері гомотетиялы болады. Оның центрі кесіндісі мен түзуінің қиылысу нүктесі Q. Онда центрі ОQ- дың ортасы D нүктесінде болатындай, радиусы DО –ға тең шеңбер жүргізсек, онда ол бірінші шеңберді екі нүктеде қияды. Бұл шыққан қиылысу нүктелерін Q нүктесімен қоссақ, онда берілген шеңберлердің ортақ жанамаларын аламыз.

2 –суретте көрсетілгендей орналасқан шеңберлердің 4 ортақ жанамасы бар. Егер шеңберлер сырттай жанасса, онда олардың 3 ортақ жанамасы бар (3-суретте). Қиылысатын шеңберлердің екі ортақ жанамасы бар (4-сурет). Іштей жанасатын шеңберлердің тек бір ғана ортақ жанамасы бар ( 5-сурет). Қиылыспай бір-бірінің ішінде орналасатын шеңберлердің ортақ жанамасы болмайды (6-сурет).

1-мысал. Екі бұрышы мен периметрі бойныша үшбұрыш салу керек.

Талдау. Есепте екі бұрыш: , және бір кесінді Р берілген. егер үшбұрыш периметрі Р-ға тең болсын деген талапты ескермесек, онда екі бұрышының бірі , екіншісі болатын шексіз көп үшбұрыштар салуға болады.

І здеген AВС салынған дейік. Мұндағы ВАС = , АСВ = , және АВ+ВС+АС=Р болсын (25-сурет).

АС-дан С₁ нүкте алып СВ-ға параллель С₁В₁ кесіндісін салайық. Сонда AВС~ AB₁C₁ болады. Сондықтан егер АС₁+С₁В₁+В₁А=P₁ десек, онда (*) болады.

АС түзуінін бойына АD=P кесіндісін өлшеп салып В₁С₁//ВС жүргізсек AВD~ AB₁D₁ болады да (**) болады. (*) мен (**) ден АD₁=P₁ болады.

Салу. а) Бір бұрышы В₁АС₁ = екінші бұрышы АВ₁С₁= болатын кез-келген AВ₁С₁ саламыз.

б) А нүктеден АС₁ сәулеге АС₁+С₁В₁+В₁А=Р₁ болатын кесінді саламыз. Ол AD₁ болсын.

в) АС₁ сәулеге А нүктеден Р кесіндіні өлшеп саламыз. Ол АD болсын.

г) D₁B₁-ге D-дан DB параллель түзуін жүргізіп В нүктесін саламыз.

д) В-дан В₁С₁//ВС жүргізіп С-ны табамыз. АВС іздеген үшбұрыш болады.

Дәлелдеу. ВАС = салу бойынша. Салу бойынша АВ₁С₁= және В₁С₁//ВС. Сондықтан АСВ= .

AВС-ның периметрін Р_о десек, онда AC₁B₁~ AВС-дан (*_**), AD₁B₁~ ADВ-дан Сонда (*_**) мен -ден болсын Р₀=P шығады.

Сонымен AВС-ның периметрі есеп шартында айтылған Р кесіндіге тең екен. Сондықтан ол іздеген үшбұрыш болады.

Зерттеу. AB₁C₁ салыну үшін + <180 болуы керек. Көрсетілген салулар бірмәнді орындалатындықтан есептің бір шешімі болады, ал + <180 болғанда есептің шешімі болмайды.

2-мысал. Үшбұрыштың төбесіндегі бұрышы және табанымен сол табаңға жүргізілген биіктігінің косындысы берілген.

Сол шартты қанағаттандыратын тең бүйрлі үшбұрышты салу керек.

Талдау. Есепте үш шарт берілген: 1- төбедегі бұрышы- болсын, 2-бүйір қабырғалары тең болу керек. 3-табаны мен биіктігінің қосындысы m-кесіндіге тең болуы керек.

Алғашқы екі шартты қанағаттандыратын шексіз көп үшбұрыш болады. Соның бірі A₁B₁C₁ болсын дейік, (26-а сурет) онда A₁B₁C₁= және A₁B=C₁B.

Берілген үш шарттында қанғаттандыратын үшбұрышты центрі В нүкте болатын BA₁C₁-ға гомотетиялы болтын үшбұрыштар ішінен іздейміз.

BAC ізделінетін үшбұрыш болсын. Онда AC//А₁С₁ болады, BD биіктік болады. Осы гомотетияда А₁ нүкте А нүктеге сәйкестенсе, онда D₁ нүкте D₁С₁ нүкте С нүктеге сәйкестенеді.

Осы A₁BC₁ үшбұрышты ABC-үшбұрышқа сәйкестендіретін гомотетия коэфиценті К-ны табайық. Шарт бойынша BD+AC=m_.

A₁BC₁–ны өзіміз салғандықтан BD₁+A₁C₁=m₁ таба аламыз. Сонда коэффициент К= болады.

О сыны ескеріп A₁BC₁ арқылы ABC–ны салуға болады (26-б сурет).

Салу. а) Кез-келген В нүктеден В= болатын бұрыш саламыз.

б) Оның қабырғаларынан ВА₁=ВС₁ болатын А₁,С₁ нүктелерді аламыз да А₁С₁ кесіндісін саламыз.

в) А₁С₁-ға етіп BD₁ сәулесін жүргіземіз. Оның бойына D₁Е₁=A₁C₁ кесінді саламыз. Сонда ВЕ₁=BD₁+A₁C₁=BD₁+D₁E₁=m болсын.

г) ВЕ₁ сәулеге ВЕ₂ =m кесіндіні өлшеп саламыз.

д) Е₂ –ден Е₁А₁-ге параллель жүргізіп, оның ВA мен қиылысу нүктесі А-ны табамыз.

е) А нүктеден А₁С₁-ге параллель етіп АС-ны жүргіземіз. Сонда АВС іздеген үшбұрыш болады.

Дәлелдеу. Салу бойынша В бұрышы берілген бұрышына тең ВD₁ А₁С_1, АС//А₁С₁ болғандықтан ВDАС. Сондықтан ВD биіктік. Ал, ACB~ A₁В₁С₁ болғандықтан

Сондықтан Ал BD₁+A₁C₁=m₁ Демек BD+AC=m.

Сөйтіп AВC берілген үш шартты да қанағаттандырады. Сондықтан іздеген фигура болады.

Зерттеу. Барлық салулар бірмәнді орындалады. Сондықтан есептің тек бір шешімі болады.

3-мысал. Табанындағы екі бұрышы және Р периметрі бойынша үшбұрыш салу керек.

Талдау. Есеп шешілген, іздеген AВC салынған болсын (27-сурет). Онда ВАС = , ВСА = және АВ+ВС+СА=P берілген периметр. Егер АВ-ны А нүктеден, ВС-ны В нүктеден бұрып АС жатқан түзуге көшірсек, А₁С₁=A₁A+АС+СС₁=AB+AC+BC=P болар еді және АА₁В, С₁СВ үшбұрыштар тең бүйірлі болғандықтан АА₁В = , С₁СВ = болады.

Бұлар AВC үшбұрышын салуға мүмкіндік береді.

Салу. а) А₁С₁=P кесіндіні өлшеп саламыз.

б) А₁ нүктеден А₁С₁ мен бұрыш, С₁ нүктеден бұрыш жасайтын түзулер жүргізіп олардың қиылысу нүктесі В-ны табамыз.

в) А,В-ның қақ ортасы А₀ мен С,В-ның қақ ортасы С₀-ды табамыз.

г) А₀-дан А₁В-ға, С₀-дан С₁В-ға перпендикуляр жүргізіп олардың АС түзумен қиылысу нүктелері А мен С-ны табамыз. Сонда AВC іздеген үшбұрыш болады.

Дәлелдеу. А₁В-ның қақ ортасынан оған А₀А перпендикуляр етіп жүргізілгендіктен А₁А=AB болады. Дәл осы сияқты СВ=СС₁ болады. Сондықтан А₁А+АС+СС₁=АВ+АС+СВ=P болады. Үшбұрыштың сыртқы бұрышының қасиеті бойынша ВСА = ВСА = .

Демек AВC іздеген үшбұрыш болады.

З ерттеу. + <180 болғанда ғана есептің шешуі болады және шешім біреу-ақ болады. Өйткені б-салуда А₁В, С₁D түзулерді А₁С₁-дің екінші жағынан өлшеп салуға болады. Бірақ нәтижеде шығатын үшбұрыштар тең болады.

Көріп отырғанымыздай, ұқсас түрлендіру әдісімен жұмыс істегенде гомотетияның негізгі қасиеттерін оқып үйренуге және салу есептерін шығарғанда гомотетияны қолдануға ерекше назар аударуды ұсынамыз. Конструктивті есептерді ұқсас түрлендіру (гомотетия) әдісімен шығаруға кіріспей тұрып, гомотетиялы фигураларды салуды үйрену керек.