Кіріспе

Мектеп геометрия курсында салу есептері үлкен мәнге ие. Өйткені олар геометрия курсында оқытылатын геометриялық образдардың арасындағы шынайы қатынастарды аңғаруға мүмкіндік береді. Сондай-ақ, салу есептерін шығару оқушылардың логикалық және белсенді ойлау қабілетін дамытады, кеңістіктік түсініктерін қалыптастырады. Шындығында, планиметрияда көмекші салуларды және күрделі логикалық ойқорытуларды қажет етпейтін көптеген есептеуге берілген есептер теоремалардың тұжырымдамасын, фигуралардың қасиеттерін және т.с.с. материалдарды бекітуге беріледі. Оқушылардың логикалық ойлауын дамыту және сол арқылы олардың білімдерін жүйелі, берік және терең ету үшін дәлелдеуге берілген есептер шығарылады.

Сондай-ақ, оқушылардың логикалық ойлауын дамытуда салу есептерінің де мәні үлкен. Бұндай есептерді шешуде талдау жасау, дәлеледеу және зерттеу оқушылардың бойында дұрыс ойлау және логикалық талқылау дағдыларын қалыптастыруға қажетті бай материал қорын ұсынады. Салу есептерін шығаруда оқушылар бір нақты фигурамен ғана жұмыс жүргізбей, элементтерінің әртүрлі жағдайында өзгерістерге ұшырап отыратын ізделінді фигураны құруы керек. Бұнымен біз оқушыларды ойлаудың диалектикалық әдісіне үйретеміз және мүмкіндігінше білімдегі формализмді жоямыз.

Төрт сатыдан тұратын салу есептерін шығарудың кезеңдері (талдау, салу, дәлелдеу, зерттеу) нақты ғылымдар саласындағы проблемаларды зерттеу және шешудің мықты құрылымы болып табылады. Бұндай есептерді шығару үдерісінде оқушылардың тиянақтылық, тыңғылықтық, шығармашылық сияқты қасиеттері дамиды.

Салу есептері оқытылған материалдарды бекітуге және қайталауға мүмкіндік береді, басқаша айтқанда олардың әрқайсысын шығару үшін геометрия курсының әртүрлі тарауларына қатысты білімдер қолданылады.

Салу есептерін шығару барысында геометрияның теориялық курсында қамтылмаған көптеген жаңа геометриялық фактілерді алуға (өзбетінше ашуға) болады. Мысалы, берілген элементтері бойынша үшбұрыштар салу есептерін шығару нәтижесінде үшбұрыштардың теңдік белгелерін оқушылар өзбетінше тұжырымдай алады. Оқушылар салу есептерін шығару барысында геометриялық есептердің басқа түрлерімен байланысын ғана емес, салу есептерінің басқа мектеп пәндерімен де (алгебра, физика, сызу) байланысын анықтайды.

Дегенмен мектеп геометрия курсында ең негізгі, ең қажетті деген салу есептері ғана беріледі. Оның өзінде сабақтарда ол есептер түгел шығарылмай, көпшілігі қалдырылып кетіп жататындығы жасырын емес. Оның негізгі себептерінің бірі, оқушыға салу есептерін шығару әдістерін үйретуден гөрі күрделі логикалық ойқорытуларды қажет етпейтін есептеуге берілген есептерді шығарып көрсету әлде қайда оңай болса, екінші жағынан мұғалімге көмек болатын салу есептерін шығаруға арналған әдістемелік әдебиеттердің аздығында (қазақ тілінде жоқтың қасы деуге болады) деп есептейміз.

Бұл дәрістер жинағында жазықтықтағы және кеңістіктегі салу есептерін шығару әдістері, жазықтықтағы және кеңістіктегі негізгі геометриялық орындар мен оларды салу есептерін шығаруда қолдану жолдары, геометриялық фигураларды кескіндеу теориясы, фигуралар кескініне қойылатын талаптар, метрикалық анықталған кескіндер, фигуралар кескінінде орындалатын позициялық есептерді шешу, көпжақтар қималарын салу әдістері қарастырылды. Әр дәріс соңында студенттер мен оқырмандардың өзбетінше орындауына арналған бекіту сұрақтары берілген.

1-дәріс. Жазықтықтағы және кеңістіктегі геометриялық салу есептері туралы жалпы мағлұматтар. Конструктивтік геометрия және оның аксиомалары. Салу есептерін шығарудың негізгі кезеңдері.

Фигураларды салу есептерін және ондай есептерді шешу әдістерін қарастыратын геометрияның бөлімін конструктивтік геометрия дейді.

Конструктивтік геометрияның негізгі ұғымы – геометриялық фигураларды салу. Геометриялық салуға арналған барлық есептерде берілген фигураларға сүйене отырып, берілген шарттарды қанағаттандыратын нақты бір фигураны салу талап етіледі және ол салуды қандай құралдармен орындау қажеттілігі көрсетіледі. Сонымен қатар қарастырылатын фигуралардың барлығы да бір жазықтықта жатыр деп есептеледі. Оны негізгі жазықтық дейді. Бұл жазықтықтың негізгі элементтері (объектілері) ретінде нүкте, түзу және шеңбер алынады. Бұл объектілер арасындағы негізгі қатыстар деп, олардың бір-біріне қарағанда өзара орналасуын, бірінің екіншісінде жатуын айтады.

Негізгі объектілер мен олардың әртүрлі біріктірмелерін жазықтықтағы геометриялық фигура дейтін боламыз. Осы негізгі объектілер (фигуралар) жәрдемімен басқа фигуралар анықталады. Мысалы А, В екі нүкте мен түзу жәрдемімен АВ кесінді, АВ сәуле, АВ түзу т.б. анықталады. Сондықтан салуға арналған барлық есептерді берілген негізгі фигуралар (нүкте, түзу, шеңбер) арқылы басқа негізгі фигураны (нүкте, түзу, шеңберді) салу деп есептеуге болады.

Әрбір салуға арналған нақты есепті тұжырымдау мен шешуде әрбір элементі салынған фигура деп аталатын негізгі фигуралар (нүкте, түзу, шеңбер) жиыны Σ беріледі. Салынған негізгі фигура алғашқы ұғым, ол төмендегі екі шартты қанағаттандырады.

а) Салу есебі шартында берілген нүкте, түзу, шеңбер Σ жиынға енеді, яғни олар салынған деп есептеледі. Негізгі фигуралар жиыны Σ шекті болады.

б) Ең болмағанда салынған бір түзу болады. Әрбір салынған түзу мен шеңберде салынған екі нүкте болады.

Салу барысында Σ жинағы жаңа салынған нүктелер, түзулер, шеңберлер қосатын амалдар болады деп есептеледі. Мұндай әрбір амалды салу қадамы дейді.

Төмендегі тұжырымдар салу аксиомалары немесе постулаттары делінеді. Бұларда салудың қандай қадамын салуға болатыны айтылады.

П-1. Салынған екі нүктеден өтетін түзуді салу, яғни салынған екі нүктеден өтетін түзуді салынған түзу деуге болады.

П-2. Салынған нүктені центр етіп, салынған екі нүкте арасын радиус етіп шеңбер салу. Демек центрі мен радиусы салынған шеңберді салынған деуге болады.

П-3. Параллель емес екі түзудің қиылысу нүктесін салу. Демек салынған екі түзу параллель болмаса, олардың қиылысу нүктесі салынған деуге болады.

П-4. Салынған шеңбер мен салынған түзудің қиылысу нүктесін салу, егер олар қиылысатын болса.

П-5. Салынған екі шеңбердің қиылысу нүктесін салу, егер олар қиылысатын болса.

Салу есебін жалпы түрде былайша тұжырымдауға болады: саны шектеулі салынған негізгі фигуралар F₁, F₂,.. ,F_n берілген және ізделіп отырған салынбаған F фигураның қасиетінің сипаттамалары берілген. Жоғарыда келтірілген П-1,2,3,4,5 постулаттарды пайдалана отырып, F фигураны анықтайтын салынған негізгі фигуралардың шекті жиынын табу керек.

Салу құралдары және олардың аксиомалары

Жазықтықта салынған (яғни берілген) негізгі фигуралар (нүкте, түзу, шеңбер) жиыны Σ-ны жаңа салынған негізгі фигуралармен (нүктелермен, түзулермен, шеңберлермен) толықтыру үшін түрлі салу құралдары қолданылады. Ол құралдарға салу мүмкіндігін көрсететін түсініктемелер берілуі керек. Олар аксиома түрінде беріледі.

Салу құралдарына бір жақты және екі жақты сызғыштар, тікбұрыш, циркуль т.б. жатады.

Ежелден қалыптасқан дәстүр бойынша салу құралы ретінде көбінесе циркуль мен сызғыш қабаттаса қолданылады. Сызғыш бір жақты, шкаласыз және шексіз деп есептеледі. Циркуль ашасы да шексіз деп есептеледі.

Демек циркуль мен сызғыш күнде қолданылып жүрген циркуль мен сызғыш емес, олар абстракцияланған болып табылады. Олардың салу мүмкіндігі де әртүрлі, ол мүмкіндіктер мына аксиомаларда көрсетілген.

Сызғыш аксиомалары:

С-1. Салынған екі нүктені жалғайтын кесіндіні салу.

С-2. Салынған екі нүктеден өтетін түзуді салу.

С-3. Салынған нүктеден шығатын және салынған екінші нүктені басып өтетін сәулені салу.

Циркульдің аксиомалары:

Ц-1. Центрі салынған нүкте болатын, радиусы салынған нүктелер арасын қосатын кесіндіге тең болатын шеңбер салу.

Ц-2. Центрі мен доғасы салынған шеңберді салу.

Сызғыш пен циркуль арқылы жоғарыда келтірілген бес постулатта айтылған салуларды және олардың комбинациясы түрінде берілген көптеген салуларды орындауға болады. Циркуль және сызғыш жәрдемімен салынбайтын да салу есептері болады. Олар туралы да айтылып, мысалдар келтірілетін болады.

Салу есептерін шешудің жалпы схемасы

Салу есебін шешу - сол салу есебін шешудің жолын анықтау, анықталған жол бойынша оны салу және ол есептің шешімі қандай жағдайларда болады, болса қанша болады, қандай жағдайда есептің шешімі болмайды деген сұрақтарға жауап іздеуден тұрады.

Қарапайым деген салу есебін шешудің өзі бірнеше қадамнан тұрады. Сондықтан салу есебін шешуде белгілі бір схеманы басшылыққа алған жөн. Қалыптасқан схема бойынша салу есебін шешу 4 кезеңнен: Талдау, салу, дәлелдеу, зерттеуден тұрады. Әрине салу есебін шешуде бұл схеманы барлық кезде қатаң қолдану міндетті емес, кейде бұдан өзге жолдарды пайдаланған тиімді болады. Дегенмен бұл схема геометриялық салу есебін шешуді жеңілдетеді.

Бұл схеманың мәні төмендегідей

1.Талдау кезеңі. Бұл кезеңде есеп шартында берілген фигуралар мен салынбақ фигура арасындағы қатыстарды анықтайды. Ол үшін есеп шешілген деп ұйғарып, салынған фигураның жоба суреті салынады. Осы жоба суретте берілген фигуралар мен салынған фигуралар арасындағы қатыстарды талдай отырып, ізделінді фигураны салу қадамдарын белгілейді. Сөйтіп, талдау кезеңі есепті шешу, фигураны салу жолдарын іздестіру нәтижесінде ізделінді фигураны салу қадамдарын тізбектей белгілеумен аяқталады.

2.Салу кезеңі. Бұл кезеңде талдау кезеңінде анықталған салу қадамдарын циркуль және сызғыш жәрдемімен бірінен соң бірін тізбектей салады. Сонда талдау кезеңінде салынған жоба сурет іздеген фигураның нағыз суретіне айналады.

3. Дәлелдеу кезеңі. Бұл кезеңде салынған фигураның есептің барлық шарттарын шынында да қанағаттандыратынын дәлелдейді. Сөйтіп салынған фигураның шынында да іздеп отырған фигура екеніне көз жеткізіледі.

4. Зерттеу кезеңі. Бұл кезеңде мына сұрақтарға жауап беріледі:

а) Таңдап алған әдіспен есепті шешу әруақытта мүмкін бе, яғни циркуль және сызғыш жәрдемімен оны салуға болады ма?

б ) Есептің қандай жағдайда шешімі бар және қанша, қандай жағдайда шешімі болмайды?

Міне осы сұрақтарға жауап іздеу зерттеу кезеңінің міндеті болып табылады. Яғни, зерттеу бөлімінің міндеті есептің шешілу шарттарын және шешім санын анықтау. Бұл кезеңде есептегі барлық мүмкін жағдайларын қарастыру үшін әрбір салу қадамдарын зерттеген жөн.

Мысалы. Табаны және бүйір қабырғаларына жүргізілген медианалары бойынша үшбұрыш салу.

Шешуі. Есеп шарты бойынша салынбақ үшбұрышқа тиісті үш кесінді берілген (жазықтықта олар салынып қойылған): табаны а, медианалары m₁, m₂ кесіндіге тең болуы керек.

Талдау. Есеп шешілген, яғни табаны АС=a, медианалары АА₁=m_1, CC₁=m₂ болатын ∆АВС салынған дейік (1, а-сурет). АА₁ ∩ CC₁=О дейік. Онда медиана қасиеті бойынша СО=2OC₁; AO=2OA₁ болу керек. Демек СО=2/3m₂; AO=2/3m₁; Ал, ОС₁=1/3m₂, OA₁=1/3m₁;

Үшбұрыш өзінің үш төбесімен толық анықталады. Табаны АС=a салсақ А және С төбелер анықталады да, В төбені салу ғана қалады. Ал, В=АС₁∩CА₁ болғандықтан, В нүктені салу үшін С₁ мен А₁ нүктелерін салу керек. С₁ нүкте СО, А₁ нүкте АО сәулелерінде жатқандықтан А₁ мен С₁-ді салу үшін О нүктені салу керек. Егер О нүкте салынса АО-ға АА₁=m₁ СО-ға CC₁=m₂ өлшеп салса В нүктесі табылады. Сонымен салу есебінің шешімі О нүктені табуға тірелді. ∆АОС –ны салсақ О нүкте салынады.

Салу. Талдауда анықталған салу қадамдарын еске ала отырып циркуль және сызғыш жәрдемімен мыналарды тізбектей саламыз:

2-1. Кез-келген ℓ түзуі бойына АС=а кесіндіні өлшеп саламыз.

2-2. Негізгі 6-салу бойынша үш қабырғасы АС=а, АО=2/3m₁, СО=2/3m₂ бойынша ∆АОС –ны саламыз.

2-3. АО, СО сәулелеріне АА₁=m₁, CC₁=m₂ кесінділерді өлшеп саламыз (1-негізгі есеп).

2-4. АС₁, СА₁ түзулерінің қиылысу нүктесі В-ны табамыз. Сонда шыққан АВС ізделінді үшбұрыш болады.

Дәлелдеу. Егер D₁ нүкте АО, Е₁ нүкте СО кесінділерінің ортасы болса, D₁Е₁А₁С₁ төртбұрыш параллелограм болады (1,б-сурет). Себебі ОD₁=ОА₁, ОЕ₁=ОС₁. Сондықтан А₁С₁=D₁Е₁, А₁С₁║D₁Е₁ болады. D₁Е₁ кесінді ∆АОС-ның орта сызығы болғандықтан D₁Е₁║АС және С₁А₁=D₁Е₁=AC/2 болады. Демек С₁А₁ кесінді ∆АВС-ның орта сызығы болады. Сондықтан АА₁, СС₁ ол үшбұрыштың медианалары болады және салу бойынша CC₁=m_2, АА₁=m₁, АС=а. Демек, салынған ∆АВС есеп шартын қанағаттандырады, олай болса ол ізделінді үшбұрыш болады.

Зерттеу. Салу кезеңінде орындалған әрбір салуды жеке-жеке қарастырайық.

2-1. Салу әруақытта мүмкін және бірмәнді орындалады.

2-2. Салу 2/3│m₂ –m₁│< a < 2/3│m₂ +m₁│ болған кезде ғана орындалады, салынады.

2-3. Салу әруақытта мүмкін және бірмәнді орындалады.

2-4. Салу әруақытта мүмкін және бірмәнді орындалады. Өйткені АС₁мен СА₁ қиылысады, егер олар параллель болады десек. АС=С₁А₁ болып, С₁А₁=1/2AC дегенге қайшы келер еді.

Сонымен есептің шешуі 2/3│m₂–m₁│< a < 2/3│m₂+m₁│ болған жағдайда ғана болады және жалғыз болады.