6. Какую работу по преодолению силы тяжести надо совершить, чтобы выкопать яму цилиндрической формы глубины h, радиуса (удельный вес земли )?
7. Вычислите несобственные интегралы:
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 11
Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
,
;
б)
;
в)
.
Вычислите длины дуг кривых:
а)
,
;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
,
.
6. Стержень длины , массы притягивает точку массы , которая лежит на его продолжении на расстоянии от ближайшего конца стержня. Найдите силу взаимодействия стержня и точки.
7. Вычислите несобственные интегралы
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 12
Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
,
;
б)
(одна арка циклоиды);
в)
.
Вычислите длины дуг кривых:
а)
,
;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
,
.
6. С какой силой полукольцо радиуса , массы действует на материальную точку массы , находящуюся в его центре?
7. Вычислите несобственные интегралы
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 13
Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
,
;
б)
;
в)
.
Вычислите длины дуг кривых:
а)
,
;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
,
.
6. С какой силой проволочное кольцо радиуса и массы действует на материальную точку массы , лежащую на прямой, проходящей через центр кольца перпендикулярно к его плоскости? Расстояние от точки до центра кольца равно .
7. Вычислите несобственные интегралы
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 14
Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
,
;
б)
;
в)
.
Вычислите длины дуг кривых:
а)
,
;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , .
6. Стержень вращается
в горизонтальной плоскости вокруг
вертикальной оси, проходящей через
конец стержня с угловой скоростью
.
Поперечное сечение стержня имеет площадь
,
длина стержня
,
плотность материала, их которого он
изготовлен,
.
Найдите кинетическую энергию стержня.
7. Вычислите несобственные интегралы
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 15
Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
(одна арка циклоиды); в)
.
Вычислите длины дуг кривых:
а)
;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
.
6. Треугольная
пластинка, основание которой
,
а высота
,
вращается вокруг своего основания с
постоянной угловой скоростью
.
Найдите кинетическую энергию пластинки,
если толщина ее
,
а плотность материала, из которого она
изготовлена,
.
7. Вычислите несобственные интегралы
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 16
Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите длины дуг кривых:
а)
,
(астроида); б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
,
.
6. Пластинка в форме параболического сегмента вращается вокруг оси параболы с постоянной угловой скоростью . Основание сегмента , а высота , толщина пластинки , плотность материала . Найдите кинетическую энергию пластинки.
7. Вычислите несобственные интегралы
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 17
Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите длины дуг кривых:
а)
,
заключенной между точками пересечения
с осью OX;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
.
6. Пластинка в форме треугольника погружена вертикально в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Основание пластинки , высота . Найдите силу давления воды на каждую из сторон пластинки.
7. Вычислите несобственные интегралы
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 18
Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
(одна арка циклоиды);
в)
.
Вычислите длины дуг кривых:
а)
;
б)
;
в) , .
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
.