В а р и а н т 1
Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
;
в)
.
Вычислите длины дуг кривых:
а)
,
;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
,
вокруг оси
.
6. Вычислите работу,
которую надо совершить, чтобы насыпать
кучу песка (удельный вес
)
в форме правильной треугольной пирамиды
(сторона основания
,
а высота
).
Песок поднимают с поверхности земли,
на которой находится основание пирамиды.
7. Вычислите несобственные интегралы:
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов
а)
;
б)
.
В а р и а н т 2
1. Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
2. Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
;
в)
.
4. Вычислите длины дуг кривых:
а)
,
;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
,
вокруг оси
.
6. Вычислите работу, которую надо совершить, чтобы насыпать кучу песка (удельный вес ) в форме конуса (радиус основания , а высота ). Песок поднимают с поверхности земли, на которой покоится основание конуса.
7. Вычислите несобственные интегралы:
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 3
1. Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
2. Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
;
в)
(одна арка циклоиды).
4. Вычислите длины дуг кривых:
а)
,
лежащей внутри кривой
;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
,
.
6. Вычислите работу,
которую нужно произвести, чтобы выкачать
воду из конического сосуда высоты
и радиуса основания
,
обращенного вершиной вниз.
7. Вычислите несобственные интегралы:
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 4
1. Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
2. Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
;
в)
.
4. Вычислите длины дуг кривых:
а)
,
заключенной между точками пересечения
ее с осью OX;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
,
,
.
6. Котел имеет форму параболоида вращения. Глубина котла , радиус основания . Определите работу, которую нужно совершить, чтобы выкачать воду из такого котла.
7. Вычислите несобственные интегралы:
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 5
1. Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
2. Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
,
,
;
б)
;
в)
.
4. Вычислите длины дуг кривых:
а)
,
отсеченной прямой
;
б)
,
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
,
,
.
6. Вычислите работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать воду из конического сосуда, высота которого , а радиус основания , если конус обращен вершиной вверх.
7. Вычислите несобственные интегралы:
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 6
1. Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
2. Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
;
в)
(одна арка циклоиды).
4. Вычислите длины дуг кривых:
а)
,
отсеченной прямой
;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
,
,
.
6. Вычислите работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать жидкость с удельным весом из полусферического сосуда радиуса .
7. Вычислите несобственные интегралы:
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 7
1. Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
2. Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
(площадь, ограниченную петлей);
б)
;
в)
.
4. Вычислите длины дуг кривых:
а)
,
;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
,
,
.
6. За какое время жидкость, заполняющая полусферическую чашу радиуса , вытечет из отверстия на дне площадью s?
7. Вычислите несобственные интегралы:
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 8
1. Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
2. Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
;
в)
.
4. Вычислите длины дуг кривых:
а)
,
отсеченной прямой
;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
,
.
6. Вычислите силу, с которой вода давит на прямоугольную пластинку высоты a, ширины b, вертикально погруженную в воду так, что верхняя сторона пластинки находится на глубине h параллельно поверхности воды.
7. Вычислите несобственные интегралы:
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 9
1. Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
2. Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
(одна арка циклоиды);
в)
.
4. Вычислите длины дуг кривых:
а)
,
,
;
б)
;
в) , .
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
,
,
,
.
6. Два электрических
заряда
и
находятся на расстоянии a
друг от друга. Сначала оба заряда
закреплены неподвижно; затем заряд
освобождается. Тогда под действием силы
отталкивания заряд
начинает перемещаться. Какую работу
должна совершить сила отталкивания,
чтобы заряды оказались на расстоянии
2a?
Разделяющей средой служит воздух.
7. Вычислите несобственные интегралы:
а)
;
б)
.
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
а)
;
б)
.
В а р и а н т 10
1. Найдите неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
2. Вычислите определенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а)
;
б)
;
в)
.
4. Вычислите длины дуг кривых:
а)
,
заключенной между ее точками пересечения
с осью OX;
б)
;
в)
,
.
5. Вычислите объем
тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
,
.