Двойственная задача линейного программирования

Двойственная задача – это вспомогательная задача линейного программирования, формулируемая с помощью определенных правил непосредственно из условий исходной, или прямой задачи.

1. Каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи.

2. Каждой переменной прямой задачи соответствует ограничение двойственной задачи

3. Коэффициенты при некоторой переменной, фигурирующие в ограничениях прямой задачи, становятся коэффициентами левой части, соответственного ограничения двойственной задачи.

4. Коэффициенты, фигурирующие при переменных в выражении целевой функции прямой задачи, становятся постоянной правой части, этого же ограничения двойственной задачи.

Условия двойственной задачи формируются следующим образом:

Прямая задача целевой функции, ограничения	Двойственная задача целевой функции, ограничения
max; ≤ min; ≥	min; ≥ max; ≤

Получим двойственную задачу:

Z= 300у₁ + 780у₂ + 14400у₃ → min

При ограничениях:

у ₁ + 2у₂ + 60у₃ >0,16

у₁ + 3у₂ + 30у₃ > 0,2

у₁, у_2, у₃ > 0

Оптимальное решение двойственной задачи можно получить из симплекс-таблицы для прямой задачи, если воспользоваться следующим уравнением:

(Коэффициенты при начальной базисной переменной в оптимальном Z-уравнении прямой задачи) = ( Разности между левой и правой частями ограничения двойственной задачи, ассоциированного с данной начальной переменной)

Базисные переменные начального решения прямой задачи х₃,х₄,х₅ (см. таблицу 1) имеют в оптимальном Z-уравнении коэффициенты, равные 2⁄25, 1⁄25 и 0 соответственно. Ограничения двойственной задачи, соответствующие переменным х₃,х₄,х₅, записываются как у₁> 0,у₂ > 0, у₃ > 0

Используя приведенное выше уравнение получим:

2⁄25 = у₁ – 0,1⁄25 = у₂ – 0 и 0 = у₃ – 0, откуда у₁ = 2⁄25, у₂=1⁄25, у₃= 0

Подставим полученные значения в уравнение двойственной задачи.

300 ∙2⁄25 + 780 ∙ 1⁄25 + 14400 ∙ 0 = 55,2,т.е. решение прямой и двойственной задачи совпадают.

Анализ модели на чувствительность

Как только условия, в соответствии с которыми была построена модель, изменяются, то информация, связанная с оптимальным решением сразу же теряет актуальность. Анализ модели на чувствительность как раз и связан с исследованием возможных изменений полученного оптимального решения в результате исходной модели.

При анализе модели на чувствительность необходимо ответить на вопрос: изменится ли полученное ранее оптимальное решение? И если да, то каково оно?

При изменении исходной модели предыдущее решение может стать недопустимым или неоптимальным.

Общая схема анализа модели на чувствительность:

1. Решить исходную задачу и составить симплекс таблицу для оптимального решения.

2. Найти новые значения элементов симплекс-таблице при изменении исходной модели.

3. Если решение в новой таблице неоптимальное, то перейти к этапу 4

Если решение недопустимое, то перейти к этапу 5. При оптимальном решении процесс вычисления заканчивается.

4. С помощью обычного симплекс-метода получить новое решение и процесс вычислений закончить.

5. С помощью двойственного симплекс-метода получить допустимое решение.