Типовой пример 2

Задача.

Решить симплекс-методом следующую задачу линейного программирования:

Z = 0,16 х₁ + 0,2 х₂ →max, при ограничениях:

х ₁ + х₂ ≤ 300

2х₁ + 3х₂ ≤ 780

60х₁ + 30х₂ ≤ 14400

х₁,х₂ ≥ 0

Вначале перейдем от системы неравенств к системе уравнений, для этого введем переменные х₃, х₄, х₅ такие, что:

х₁+ х₂ + х₃ = 300, х₃ > 0

2х₁ + 3х₂ + х₄ = 780, х₄> 0

60х₁ + 30х₂ + х₅ = 14400, х₅> 0

Переменные, имеющие нулевое значение называются небазисными переменными, остальные – базисными переменными.

Включаемой переменной называется небазисная в данный момент переменная, которая будет включена в множество базисных переменных на следующей итерации.

Исключаемая переменная – это та базисная переменная, которая на следующей итерации полежит исключению из множества базисных переменных.

Столбец симплекс-таблицы ассоциированный с включаемой (вводимой) переменной называют ведущим столбцом.

Строку, соответствующую исключаемой переменной называют ведущей строкой.

Элемент таблицы находящийся на пересечении ведущего столбца и строки называют ведущим элементом.

Если все коэффициенты при небазисных переменных в Z – уравнении неотрицательны (неположительные, при задаче на минимум), полученное решение оптимально.

Если все коэффициенты при базисных переменных неотрицательны, то решение называется допустимым.

Предположим, что х₁= 0,х₂ = 0,т.е.х₁ и х₂ – небазисные переменные, тогда при таких условиях х₃ = 300, х₄ = 780,х₅ = 14400. Переменные х₃,х₄,х₅ – отличны от нуля, составляют базис.

Составим симплекс-таблицу.

В строки Х₃,Х₄,Х₅ выписываем коэффициенты при соответствующих переменных х₁.х₂,х₃.х₄,х₅ из уравнений ограничений. В столбец Решение выписываем правые части из ограничений. Строка Z формируется из коэффициентов в целевой функции (с противоположными знаками).

Таблица 1

Переменные Базис	х1	х2	х3	х4	х5	Решение	Ѳ
Х3	1	1	1	0	0	300	300
Х4	2	3	0	1	0	780	260←
Х5	60	30	0	0	1	14400	480
Z	-0,16	-0,2 ↑	0	0	0	0

Итак, мы приходим к следующему выводу: наличие в строке Z отрицательных коэффициентов при решении задачи на максимум свидетельствует о том, что нами оптимальное решение не получено и от таблицы 1 надо перейти к следующей таблице. Если бы все коэффициенты в Z-строке были неотрицательны, полученное решение являлось бы оптимальным.

Переход к новой таблице осуществляется следующим способом.

Условие оптимальности. В строке Z находим наибольшее по модулю отрицательное (при задачи на минимум – наибольшее положительное) число. В нашем примере этим числом будет -0,2, расположенное во втором столбце (ведущий столбец) при переменной х₂, которая будет являться вводимой в базис переменной. Если в таблице имеется два одинаковых коэффициента, то выбирается любой.

Условие допустимости. Делим столбец Решение на положительные элементы ведущего столбца и выбираем из полученных отношений наименьшее. Наименьшее отношение определяет ведущую строку. В данном случае имеем:

300 780 14400 780

Min= ; ; = = 260

1 3 30 3

Таким образом, ведущей строкой будет строка Х₄(переменная х₄- исключаемая). Коэффициент 3 – ведущий. В случаи равенства нескольких отношений выбор делается произвольно.

Составляем вторую симплекс - таблицу.

Вместо х₄ вводим в базис переменную х₂. Переход к новому базису эквивалентен преобразованию матрицы, элементами которой служат числа таблицы 1. А именно: в новой таблице элементы ведущей строки равны элементам прежней таблице разделенным на ведущий элемент, те. Новая ведущая строка =

Предыдущая ведущая строка (2⁄3; 3⁄3 и т.д.)

Ведущий элемент

Любые другие элементы таблицы можно найти по правилу прямоугольника: искомый элемент находится как разность произведения данного элемента на ведущий элемент и произведения ведущей строки на рядом стоящий элемент ведущего столбца, разделенная на ведущий элемент.

Для примера найдем элемент на пересечении строки Х₅ и столбца Х₁:

3 ∙ 60 – 2 ∙ 30 =40

3

Таким образом, мы переходим ко второй таблице.

Таблица 2

Переменные Базис	х1	х2	х3	х4	х5	Решение	Ѳ
х3	1/3	0	1	-1⁄3	0	40	120←
х2	2⁄3	1	0	1⁄3	0	260	390
х5	40	0	0	1	1	6600	480
Z	-2⁄75 ↑	0	0	1⁄15	0	52

Т.к. строка Z имеет отрицательное число (-2⁄75), то оптимальное решение не достигнуто и надо строить следующую таблицу.

Столбец Х₁ – ведущий. Определяем ведущую строку:

40 260 6600 40

Min = 1⁄3 ; 2⁄3 ; 40 = 1⁄3 = 120.

т.е. Х₃- ведущая. Следовательно, 1⁄3 – ведущий элемент.

Вместо х₃ вводим в базис переменную х₁ и составляем симплекс- таблицу.

Таблица 3

П еременные Базис	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Решение
Х1	1	0	3	-1	0	120
Х2	0	1	-2	1	0	180
Х5	0	0	-120	30	1	1800
Z	0	0	2⁄25	1⁄25	0	55,2

В строке Z нет отрицательных элементов. Следовательно, мы получили оптимальное решение:

х₁ =120, х₂ = 180,х₃ = 0, х₄ = 0, х₅ =1800

Z=0,16 ∙ 120 + 0,2 ∙180 = 55,2