Решение типовых задач графический способ решения задачи линейного программирования типовой пример 1

Ζ=-2х₁+х₂→min

2х₁+х₂≤8,

х₁+3х₂≥6,

3х₁+х₂≥3,

х₁,х₂≥0.

Первый шаг при использовании графического метода заключается в геометрическом представлении допустимых решений, т.е. построении области допустимых решений, в которой одновременно удовлетворяются все ограничения модели. Для этого построим области решений всех неравенств, а затем найдем их пересечение, оно и будет областью допустимых решений.

Областью решений неравенства 2х₁+х₂≤8 является полуплоскость, лежащая по одну сторону от прямой 2х₁+х₂=8. Построим эту прямую. Для построения этой прямой достаточно знать ее любые две точки. Для определения координат точки на прямой одна из ее координат полагается равной произвольному числу, а другая находится из уравнения прямой после подстановки туда зафиксированного значения координаты.

Положим х₁=0. Подставив это значение в уравнение прямой

2х₁+х₂=8,

найдем х₂: х₂=8-2•0=8

Следовательно, точка (0;8) лежит на нашей прямой.

Положим х₂=0.

Подставив это значение в уравнение прямой находим:

х₁=(8-0):2=4

Точка (4;0) также лежит на прямой.

Построим в системе координат (х₁;х₂) точки с координатами (0;8) и (4;0).

Областью решений неравенства 2х₁+х₂≤8 является полуплоскость, лежащая по одну сторону от построенной прямой.

Для определения, какая из двух полуплоскостей является областью решений данного неравенства, достаточно взять любую точку плоскости не лежащую на этой прямой и проверить, удовлетворяет она неравенству или нет. Если взятая точка удовлетворяет неравенству, то полуплоскость, в которой она лежит, является областью решений неравенства, если же не удовлетворяет, то областью решений является другая полуплоскость. Обычно в качестве такой точки берут начало координат (0;0). Эта точка удовлетворяет неравенству 2х₁+х₂≤8, значит областью решений неравенства является полуплоскость, в которой лежит точка (0;0).

Аналогично можно построить области решений неравенств: х₁+3х₂≥6, 3х₁+х₂≥3.

Взяв пересечение всех областей решений неравенств, получим пространство решений – четырехугольник АВСД.

В каждой точке, принадлежащей внутренней области или границам четырехугольника решений АВСД, все ограничения выполняются, поэтому решения, соответствующие этим точкам, являются допустимыми. Пространство решений содержит бесконечное число таких точек, но, несмотря на это, можно найти оптимальное решение, если выяснить в каком направлении возрастает (в нашем случае убывает) целевая функция модели Ζ=-2х₁+х₂. На график наносят ряд параллельных линий, соответствующих уравнению целевой функции при нескольких произвольно выбранных и последовательно возрастающих значениях Ζ,что позволяет определить наклон целевой функции и направление, в котором происходит ее увеличение, т.е. возрастание общего дохода (в нашем случае, ее уменьшение). На рис.1 использованы следующие значения целевой функции: Ζ=0 и Ζ=6. Чтобы найти оптимальное решение, следует перемещать прямую, характеризующую доход, в направлении возрастания (в нашем случае, в направлении убывания) целевой функции до тех пор, пока она не сместиться в область недопустимых решений.

(1)

8 В

(3) 6

(2)

А 3

2 Д

С

0 1 4 6

-3

Ζ=6

Ζ=0

Рис 1

На рис.1 видно, что оптимальному решению соответствует точка С. Так как точка С является точкой пересечения прямых (1) и (2), значения х₁и х₂ в этой точке определяются решением следующей системы двух уравнений:

2х₁+х₂=8

х₁=х₂ + 3х₂ = 6

Решение указанной системы уравнений дает следующий результат: х₁=3,6; х₂=0,8.

Значит точка С (3,6; 0,8) является точкой минимума. Значение целевой функции в этой точке равно Ζ=-2х₁+х₂=-2•3,6+0,8=-6,4.