6.4. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций
Предварительно
введем обозначение рациональной функции
от двух переменных
и
,
т. е. функции, получающейся из двух
переменных
и
и некоторых постоянных, над которыми
производятся только операции сложения,
вычитания, умножения и деления:
Такова, например, функция
Если
переменные
и
,
в свою очередь, являются функциями
переменной
:
,
то функция
называется рациональной функцией от
и
.
Например, функция
является
рациональной функцией от
и от
;
здесь
,
а функция
является
рациональной функцией от
и от
:
Рассмотрим теперь интегралы от некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций и покажем, что в ряде случаев они сводятся к интегралам от рациональных функций (или, как говорят, рационализируются) и могут быть вычислены методами рассмотренными ранее.
1.
Интегралы
вида
,
где
— некоторые числа
;
— натуральное число,
— рациональная функция от
и от
.
Покажем, что такой интеграл рационализируется
подстановкой
.
В самом деле,
так что
где
— рациональная функция аргумента
.
Примеры.
1)
Вычислить
Решение.
Сделав подстановку
,
получим
Далее, имеем
2)
Вычислить
Решение.
3)
.
Решение.
Положим
,
откуда
.
Следовательно,
.
2.
Интегралы
вида
,
где
— некоторые
числа;
– рациональная
функция переменных
и
Если
трехчлен
имеет вещественные корни
и
,
то
Следовательно,
т.
е. получаем интеграл, рассмотренный в
п. 1. Если
,
то
т. е. под знаком интеграла находится рациональная функция от .
Поэтому
интересен случай, когда трехчлен
не имеет вещественных корней и
.
Покажем, что в данном случае интеграл
рационализируется подстановкой
Эйлера:
.
Возводя
обе части равенства
в квадрат, получаем
,
так что
,
,
.
Таким образом,
,
где
– рациональная функция от
.
Если
же в трехчлене
,
а
,
то для рационализации интеграла можно
применить другую подстановку Эйлера:
.
Примеры.
1)
Вычислить
.
Решение.
Поскольку трехчлен
имеет комплексные корни, сделаем
подстановку
.
Возводя обе части равенства в квадрат,
получаем
или
;
отсюда
,
.
Тогда
.
Далее, имеем
.
Умножая
обе части равенства на
,
получаем
,
или
.
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
,
получаем систему уравнений первой
степени относительно
:
откуда
.
Следовательно,
,
и окончательно
.
2)
Вычислить
.
Решение.
Здесь трехчлен
имеет комплексные корни и
,
,
поэтому воспользуемся подстановкой
.
Возводя обе части равенства в квадрат,
получаем
или
;
отсюда
,
,
.
Таким образом,
.
Заметим, что вычисление интегралов с помощью подстановок Эйлера обычно приводит к громоздким выражениям и трудоемким выкладкам, поэтому их следует применять, только если данный интеграл не удается вычислить более коротким способом.
3.
Интегралы
вида
,
где
– рациональная функция от функций
и
.
Покажем,
что интеграл рационализируется
подстановкой
,
которая называется универсальной
тригонометрической подстановкой.
Действительно,
,
,
,
так что
,
где
– рациональная функция t.
Тригонометрическая
подстановка
часто приводит к громоздким интегралам
от рациональных функций. Поэтому в ряде
случаев удобнее использовать другие
подстановки.
Если
подынтегральная функция
является четной относительно совокупности
и
,
т.е.
,
то интеграл рационализируется
подстановкой
.
Тогда
.
Если
подынтегральная функция
является нечетной относительно
,
подстановка
,
а если подынтегральная функция
является нечетной относительно
,
подстановка
.
Пример.
1) Вычислить
.
Решение.
Применяя подстановку
,
получаем
,
,
.
Таким образом,
.
2)
Вычислить
.
Решение.
Положим
.
Тогда
,
и
,
где
.
3)
Вычислить
.
Решение.
В данном случае проще вычислить
интеграл, не прибегая к подстановкам и
представив подынтегральную функцию в
виде
.
Тогда
.
В заключение отметим, что рассмотренные методы и приемы интегрирования не исчерпывают всех классов аналитически интегрируемых элементарных функций. В то же время из всего изложенного следует, что техника интегрирования сложнее по сравнению с дифференцированием. Необходимы определенные навыки и изобретательность, которые приобретаются на практике в результате решения большого числа примеров.