6.2. Основные методы интегрирования
Метод преобразования подынтегрального выражения. Метод основан на преобразовании функции f(x) к такому виду, чтобы интеграл сводился к вычислению нескольких табличных интегралов.
Примеры.
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6)
.
7)
.
8)
.
9)
Одним из эффективных способов нахождения неопределенных интегралов является преобразование подынтегрального выражения с целью выделения дифференциала новой переменной интегрирования (простейшая замена переменной).
10)
.
11)
.
12)
,
.
13)
.
14)
.
Метод замены переменной (метод подстановки). Имеет место следующая теорема, которая обосновывает метод:
Теорема 2. Пусть выполняются условия:
а)
функция f(x)
определена на промежутке 
;
б)
функция x=
определена на промежутке Т
и
;
в) непрерывна и дифференцируема на Т;
г) f(x) имеет первообразную F(x) на Х.
Тогда справедлива формула
.
(1)
□
Функции
f(x)
и F(x)
определены на Х.
По условию
,
тогда имеют смысл сложные функции
и
.
Поскольку F(x)
есть первообразная для
f(x)
на Х,
то
.
Функция
по условию непрерывна и дифференцируема
на промежутке Т.
Поэтому
непрерывна и дифференцируема на Т
как сложная функция. Дифференцируем ее
как сложную функцию:
.
Следовательно,
имеет первообразную функцию
.
Откуда следует формула (1).
■
Запишем левую часть (1) по-другому:
.
Если
,
то получим формулу:
.
Применение
этой формулы удобно, потому что вместо
интеграла
,
обозначив
,
получаем интеграл
,
который вычислять проще, чем исходный.
Используя
последнюю формулу, таблицу интегралов
можно записать в более общем виде. Так,
если некоторая переменная u
является
функцией переменной x,
то есть
,
то справедливы формулы:
;
,
;
,
;
,
;
;
;
;
;
;
,
;
;
,
-a<u
<a.
Примеры.
1)
.
2)
.
3)
.
4)
Последний
интеграл является табличным интегралом
типа 8
или 9
в
зависимости от знака
.
Заменой
вычисляются
также следующие
интегралы:
;
;
.
5)
Вычислить
интеграл
.
Решение.
Положим
,
тогда
.
Отсюда
.
Тогда
.
Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем
.
Замечание.
При замене переменной в неопределенном
интеграле иногда более удобно задавать
не х
как функцию
,
а, наоборот, задавать t
как функцию от х.
6)
Вычислить интеграл
.
Решение.
Положим
,
,
тогда
,
так что
.
Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо хорошо владеть техникой дифференцирования и знать табличные интегралы.
7)
Вычислить интеграл
.
Решение.
Положим
,
откуда
.
Таким образом,
,
так что
.
8)
Вычислить интеграл
.
Решение.
Положим
,
.
Тогда
9)
Вычислить интеграл
,
.
Решение.
Положим
,
,
тогда
.
При
аналогично получим
.
10)
.
Положим
,
тогда
,
.
Имеем
.
11)
.
Положим
,
тогда
,
.
Находим
,
.
12)
.
Положим
,
откуда
.
Значит,
,
.
При интегрировании некоторых иррациональных функций часто используются тригонометрические подстановки.
13)
.
Положим
,
,
тогда
.
Следовательно,
,
.
14)
.
Положим
,
;
тогда
.
Поэтому
,
.
Интегрирование по частям. Следующая теорема доказывает формулу интегрирования по частям.
Теорема
3.
Если функции u(x)
и v(x)
непрерывны на промежутке Х,
дифференцируемы во внутренних точках
и существует интеграл
,
тогда на промежутке
существует и интеграл
,
причём справедлива формула
или
.
(2)
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
□
На
промежутке Х
запишем формулу дифференцирования
произведения для дифференциалов
или
.
Интеграл от каждого слагаемого в правой
части существует, т.к.
,
а
- существует по условию. Тогда существует
интеграл
,
причем
,
или
■
Практика показывает, что большая часть интегралов, которые вычисляются по формуле интегрирования по частям, может быть разбита на 3 группы:
1)
;
,
где
- многочлен m-й
степени. Эти интегралы вычисляются
путём m-кратного
интегрирования по частям по формуле
(2), причём каждый раз за u(x)
обозначают многочлен, т.е.
,
а
.
2)
Интегралы, в которых подынтегральная
функция содержит в качестве множителя
одну из следующих функций: ln
x,
arcsin
x,
arccos
x,
arctgx,
ln
и
т.д. Для вычисления интеграла за u(x)
обозначают одну из указанных функций.
3)
Интегралы вида:
;
; 
;
и т.д. Путём двукратного интегрирования
по частям получают уравнение для данного
интеграла.
Примеры.
1)
.
2) .
3)
.
4)
.
Иногда для вычисления интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.
5)
Таким
образом, интеграл
вычислен
двукратным интегрированием по частям.
6)
.
Положим
,
.
Тогда
,
.
Откуда по формуле интегрирования по
частям имеем
.
Таким
образом, получилось
линейное уравнение относительно
,
откуда находим
.
7)
В заключение вычислим интеграл
,
который понадобится в дальнейшем. При
имеем табличный интеграл
Пусть
.
Представив 1 в числителе как разность
,
получим
Во втором интеграле применим метод интегрирования по частям:
,
тогда
следовательно,
откуда
Таким
образом, интеграл
выражен через интеграл
:
Такие формулы называются рекуррентными формулами.
Разделы: 6.3. Интегрирование рациональных функций. 6.4. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций изучаются на практических занятиях и самостоятельно.