Глава 6. Интегралы функций одной переменной
6.1. Неопределённый интеграл. Определение и свойства
В
дальнейшем под промежутком
Х
будем понимать одно
из
следующих множеств (а,b),
.
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для f(x) на промежутке Х если выполняются следующие условия:
а) функция f(x) определена на промежутке Х;
б) функция F(x) непрерывна и дифференцируема во всех внутренних точках Х;
в)
.
Примеры.
1)
является первообразной для функции
на промежутке Х=(-1,1).
2)
является первообразной для
функции
на промежутке
.
3) Является первообразной для функции на промежутке .
Из определения 1 очевидно, что если F(x) является первообразной для f(x), то F(x) + C также является первообразной для этой функции. Как отличаются между собой две первообразные?
Теорема
1.
Если
(x)
и
(x)
две первообразные для f(x)
на
промежутке Х,
то всюду на этом интервале
,
где С
- произвольная постоянная.
□ Положим
.
Т.к.
и
дифференцируемы на Х,
то Ф(х)
дифференцируема на Х
следовательно
x
и
,
откуда
.
■
Следствие.
Если
F(x)
одна из первообразных для f(x)
на Х,
то любая другая первообразная Ф(х)
для f(x)
на Х
имеет вид
,
где С
– произвольная постоянная.
Определение
2.
Множество всех первообразных функций
f(x)
на промежутке X
называется неопределённым
интегралом
от функции f(x)
на Х
и обозначается
.
Функция
f(x)
называется
подынтегральной
функцией.
Обозначение неопределенного интеграла
.
Под
знаком интеграла
пишут
для удобства не только саму функцию но
и дифференциал dx
для того, чтобы указать по какой переменной
ищется первообразная.
Примеры.
1)
на
.
2)
, -1<x<1
Свойства интегралов
1.
или
Справедливость
следует из определения.
2.
или
.
□
.
■
3.
Постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла, т.е. если a=
const
,
то
.
□ Пусть
F(x)
– первообразная для f(x),
т.е.
.
Тогда аF(x)
первообразная
для af(x),
т.к.
.
Тогда по определению
.
■
4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме неопределённых интегралов от этих функций, т.е.
.
□ Пусть
и
,
тогда функция
- первообразная для
,
т.к.
.
По определению имеем:
.
■
В
силу определения интеграла и равенства
из каждой формулы таблицы производных
получится соответствующая формула для
вычисления неопределённого интеграла.
Таблица интегралов
;
, 
;
,
;
,
;
;
;
;
;
;
,
;
;
;
-a<x<a.
Справедливость этих формул проверяется непосредственно дифференцированием правой части. Эти интегралы называются табличными. Интегралы от более сложных функций находятся с помощью свойств интегралов и таблицы интегралов.
Замечание. В теории дифференцирования функций было установлено, что производная любой элементарной функции тоже представляет элементарную функцию, т.е. применение операции дифференцирования не выводит из класса элементарных функций. С операцией интегрирования сложнее. Интегралы от некоторых элементарных функций не выражаются через элементарные функции, т.е. не являются элементарными. Например,
- интеграл Пуассона;
- интегралы Френеля;
;
;
интегральные синус, косинус, логарифм.
Эти интегралы называют специальными функциями. Они часто используются в различных разделах физики и других дисциплинах. Для них составлены таблицы, графики, компьютерные программы.