17.7. Резонанс в колебательном контуре..

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты . Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к ча­стоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом.

Для последовательного RLC-контура, когда

ωL > (1/ωC) (17.69.)

или ω² > ω₀² = (1/LC). (17.70.)

В этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ. Значит ε₀² = U_R² + (U_L – U_C)² (17.71.)

откуда следует I₀ = ε₀/√(R² + (ωL – 1/ωC)²), (17.72)

tgφ = [(ωL – 1/ωC)/R]. (17.73.)

Из выражения для I₀ видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии (ωL – 1/ωC) = 0. (17.74.)

или (ω² = ω²_рез. = ω²₀ = 1/LC. (17.75.)

Явление резкого возрастания амплитуды (заряда, тока или напряжения) вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающего напряжения к частоте _рез. называется резонансом. При ² ²₀ значение _рез. практически совпадает с собственной частотой колебательного контура ₀. Подставляя выражение резонансной частоты в уравнение для заряда. Q_m.=(U_m./L)/[(²₀- ²) + 4²²], (17.76.)

получим Q_m.=(U_m./L)/[2(²₀- ²)]. (17.77.)

Чем меньше , тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой. При малом затухании (² << ²₀) резонансная амплитуда заряда

Q_рез. = (U_m./L)/(2₀) = Q_m. = (U_m./L²₀).₀ /2 = .(U_m./L)/²₀ (17.78.)

где  - добротность колебательного контура. Амплитуда тока

I_max. = Q_m. = (U_m./L)/[(²₀ - ²) + 4²²] =

= (U_m./L)/[(²₀ - ²)/² + 4²], (17.79.)

максимальна при _{рез. =} ₀ и равна (U_m./L)/(2), (17.80.)

т.е. чем больше коэффициент затухания , тем ниже максимум резонансной кривой. Амплитуда тока при резонансе

I_max. = U_max./R. (17.81.)

4

Рис. 99. Резонансные кривые для контуров с различными значениями добротности Q.

Наличие электрического резонанса позволяет обнаруживать (а затем и усиливать) очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора (радио, телевидение). Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной RLC-цепи называется резонансом напряжений. Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов R, L и C (так называемый резонанс токов). При последовательном резонансе (ω = ω₀) амплитуды U_C и U_L напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:

(U_L)_рез. = (U_C)_рез. = ω₀L(I₀)_рез. = (ε₀/R)√(L/C). (17.82.)

Понятие добротности RLC-контура:

Q = (1/R)√(L/C). (17.83.)

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в Q раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника. Максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот. Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты ω. Механические и электромагнитные колебания можно рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора. Из

A = x_0/√[(ω₀² – ω²)² + 4δ²ω²] (17.84.)

следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту ω_рез. — частоту, при которой амплитуда А смещения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции, или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкоренное выражение по времени и приравняв его нулю, получим условие, определяющее значение ω_рез., это

-4(ω₀² – ω²ω + 8δ²ω) = 0. (17.85.)

Следовательно, резонансная частота

ω_рез. = √(ω₀² – 2δ) (17.86.)

и амплитуда

А_рез. = x₀/[2δ√(ω₀² – δ). (38.19)

Из этой формулы вытекает, что при малом затухании резонансная амплитуда смещения (заряда)

А_рез. = x₀/(2δω₀) = ω_0./2δω₀².= Q (x₀/ω₀²), (38.20)

где Q — добротность колебательной системы, x₀/ω₀²) — рассмотренное выше статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше А_рез. Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника используют явление резонанса.

ЛЕКЦИЯ № 18.