17.5. Вынужденные колебания.

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания необходимо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону:

X (t) = X₀ cos(ωt). (17.38.)

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями. Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Периодический внешний источник обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь. Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω₀. Если частота ω₀ свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника.

Для установления стационарных вынужденных колебаний необходимо некоторое время Δt после включения в цепь внешнего источника. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи. Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока.

17.6. Дифференциальные уравнения

ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ.

Для получения в реальной колебательной системе незатухающих колебаний, возможно только с помощью внешнего источника энергии, подающего эту энергию периодически, чаще всего, по гармоническому закону W_внеш. = W₀.cos(t). (17.39.)

Тогда уравнение для энергии в колебательном контуре:

W_E + W_B + W_Q = W_внеш. (17.40.)

Рис. 97. Вынужденные колебания в контуре.

С учетом выражений для энергий на конденсаторе, сопротивлении и индуктивности, после дифференцирования по времени, получим:

dW/dt = (1/2C).2Q.dQ/dt + (dQ/dt)².R + (L/2).2.dQ/dt.d²Q/dt² =

= W₀..cos(t). (17.41.)

Упростим выражение, приведя подобные величины с учетом того, что W₀ можно записать, как (U₀.I)/ и получим

(1/C).Q + dQ/dt.R + (L).d²Q/dt² = U₀сos(t) (17.42.)

или d²Q/dt² + 2(R/2L).dQ/dt + (1/LC).Q = (U₀/L).cos(t), (17.43.)

и d²Q/dt² + 2.dQ/dt + ²₀.Q = (U₀/L).cos(t). (17.44.)

Решение такого дифференциального уравнения находится как СУММА общего решения однородного дифф. уравнения и частного решения неоднородного дифф. уравнения. Частное решение ищем в комплексном виде. Для этого, заменим правую часть нашего уравнения на комплексную величину (U₀/L).e^i.t =Q₀.e^i.t (17.45.)

d²Q/dt² + 2.dQ/dt + ²₀.Q = (U₀/L).e^i.t. (17.46.)

или d²Q/dt² + 2.dQ/dt + ²₀.Q = Q₀.e^i.t (17.47.)

Частное решение уравнения будем искать в виде Q = Q₀.e^i.t. (17.48.)

Подставляя это выражение для Q и его производных

dQ/dt = iQ₀.e^i.t и d²Q/dt² = - ²Q₀.e^i.t (17.49.)

в наше дифференцивльное уравнение, получим:

Q.e^i.t (-² + 2i + ²₀ ) = Q₀.e^i.t. (17.50.)

Такое равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время должно быть из него исключено. Значит, =. С учетом этого, найдем Q₀ и умножив ее числитель и знаменатель на (²₀ - ² - 2i):

Q₀ = (U₀/L)/(²₀ - ² - 2i) = (17.51.)

= (U₀/L).{(²₀ - ² - 2i)/[(²₀ - ²)² + 4²²]}. (17.52.)

Комплексное число удобно записать в экспоненциальной форме

Q₀ = Q_m..e^-i, (17.53.)

где Q_m. = (U_m./L)/[(²₀ - ²) + 4²²], (17.54.)

a  = arctg[(2)/(²₀ - ²)]. (17.55.)

Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой  и являют­ся гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, также зависят от .

Рис. 98.

И решение уравнения в комплексной форме Q = Q_m.e^{i(t - )}. (17.56.)

С учетом ²₀ = 1/(LC) (17.57.)

и  = R/(2L) (17.58.)

получим: Q_m. = U_m./{[R² + (L - 1/C)²]}, (17.59.)

и tg = R/[1/(C) - L]. (17.60.)

Продифференцировав Q = Q_m.cos(t - ) (17.61.)

по t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

I = - Q_m.sin(t - ) = I_m.cos(t -  + /2), (17.62.)

где I_m. = Q_m. = U_m./[R² + (L - 1/C)]. (17.63.)

или I = I_m.cos(t -), (17.64.)

где  = ( - /2) (17.65.)

— сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением. Для

tg = tg( - /2) = - 1/tg = (L - 1/C)/R]. (17.66.)

Из последнего выражения следует ряд выводов. Если L > 1/C то ток отстает по фазе от напряжения, т.е.  > 0, если же

L < 1/C, то ток опережает напряжение, т.е.  < 0.

При определенном (резонансном) значении частоты  амплитуда заряда достигает максимума. Для нахождения этой частоты находим максимум функции Q, продифференцируем подкоренное выражение по частоте  и приравняем полученное нулю.

- 4(²₀ - ²) + 8² = 0, (17.67.)

Это равенство выполняется при значениях частоты,  = 0 или

+- (²₀ - 2²), у которых, только положительные значения имеют физический смысл. Реальная резонансная частота вынужденных колебаний в контуре отличается от частоты собственной ₀.

_рез. = (²₀ - 2²) (17.68.)