1.6. Поле диполя.

Рис. 6. Поле диполя.

Электрический диполь — система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов. Вектор, направленный по оси диполя, от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называют плечом диполя l. Вектор p = |q|.l (1.8)

совпадающий, по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда на плечо, называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом.

1. Напряженность поля на продолжении оси диполя в точке А. равна

E_A = E₊ - E_- Обозначив расстояние от точки А до середины диполя через r, на основании формулы Кулона для вакуума, получим:

E = 1/(4pe₀)[q/(r - l/2)² - q/(r + l/2)²] =

= q/(4pe₀){[(r + l/2)² - (r - l/2)²]/ [(r - l/2)²(r + l/2)²]} (1.9.)

согласно определению диполя, l/2 << r, поэтому

E = 1/(4pe₀).(2ql/r³) = 1/(4pe₀)(p/r³). (1.10.)

2) Напряженность поля на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его середины, в точке В. Точка В равноудалена от зарядов, поэтому

E₊ = E_- = 1/(4pe₀)[q/(r² + l²/4) » 1/(4pe₀)[q/r²). (1.11.)

где r - расстояние от точки В до середины плеча диполя. Из подобия равнобедренных треугольников, опирающихся на плечо диполя и вектор Е_В, получим E_B/E₊ = l/Ö(r² + (l/2)²) » l/r, (1.12.)

откуда E_B = E₊(l/r), и E_B = (1/4pe₀)(ql/r³) = (1/4pe₀)(p/r³). (1.13.)

Рис 7. Дипольный момент молекулы воды.

Вектор Е_В имеет направление, противоположное электрическому моменту диполя. Дипольный момент pассматpивается, как вектоp, напpавленный от отpицательного заpяда диполя к положительному. Диполь может служить электрической моделью многих молекул.

ПРИМЕР № 1. Три одинаковых точечных заряда q₁ = q₂ = q₃ находятся в вершинах равностороннего треугольника со сторонами а. Определить модуль и направление силы, действующей на один из зарядов со стороны двух других.

Дано: q1 = q2 = q3 а.

F-?

Решение:

Сила с которой действет заряд q1 на заряд q2 определяется из закона кулона:

Где ε – диэлектрическая постоянная. В нашем случае заряды и расстояния между ними одинаковы, поэтому :

Лекция № 2.

2.1. Теорема гаусса

ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ.

Свойства электростатического поля можно выразить в общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда. Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Ф вектора напряженности электрического поля. Понятие потока вектора E аналогично понятию потока вектора скорости v при течении несжимаемой жидкости. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS.

Рис. 8. Вычисление потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S.

Произведение модуля вектора E на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором E и нормалью n к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS. Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность S. Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔS_i, определить элементарные потоки ΔΦ_i поля E через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора E через замкнутую поверхность S:

Ф = ∑ΔФ_i = ∑E_ni ΔS_i . (2.1.)

Для замкнутой поверхности выбирается внешняя нормаль.

Теорема Гаусса утверждает: Поток вектора напряженности электростатического поля E через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε₀. Ф = (1/έ₀)∑q_внутр.. (2.2.)

Рассмотрим сначала сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q. Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

E = E_n = (1/4πέ₀)(q/R²), (2.3.)

где R – радиус сферы. Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4πR². Следовательно,

Ф = (1/έ₀)q_внутр.. (2.4.)

Рис. 9. Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S, окружающую заряд.

Окружим теперь точечный заряд замкнутой поверхностью S и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса R₀. Рассмотрим конус с малым телесным углом ΔΩ при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку ΔS₀, а на поверхности S – площадку ΔS. Элементарные потоки ΔΦ₀ и ΔΦ через эти площадки одинаковы. Действительно, ΔФ₀ = E₀ΔS₀,

ΔФ₀ = EΔScosά = EΔS. (2.5.)

Здесь ΔS = ΔScosα – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса r. Так как

E₀/E = r²/R²₀ (2.6.)

а

ΔS₀/ΔS¹= R²₀/r², (2.7.)

следовательно,

ΔΦ₀ = ΔΦ. (2.8.)

Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ₀ через поверхность вспомогательной сферы:

Ф = Ф₀ = q/έ_0. (2.9.)

Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не охватывает точечного заряда q, то поток Φ = 0. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей E_i точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S будет складываться из потоков Φ_i электрических полей отдельных зарядов. Если заряд q_i оказался внутри поверхности S, то он дает вклад в поток, равный q_i/έ₀, если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю. Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Используя теорему Гаусса, можно вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.