§7. Методы, использующие ограничения на критерии
Это направление включает два типа методов: метод ограничений и метод последовательных уступок.
7.1 Метод ограничений
Метод ограничений основан на введении лицом, принимающим решения, определенных ограничений на область изменения критериев.
На
первом этапе одним из известных методов
строится множество Парето
.
Далее метод ограничений реализуется в
соответствии со следующей последовательностью
шагов.
Алгоритм 1. Алгоритм решения ЗВМ методом ограничений:
Шаг
0. Рассматривается
задача векторной максимизации (2);
частные критерии задачи
.
Шаг
1. ЛПР
предлагается назначить нижние допустимые
границы
для всех
критериальных функций:
.
(21)
Предполагается, что указанные значения функций дают удовлетворяющие пользователя варианты.
Шаг 2. Строится подмножество множества Парето, состоящее из точек, удовлетворяющих неравенствам (21):
Шаг
3. Если
- пустое множество, то ЛПР предлагается
ослабить требование с помощью уменьшения
какого-то из чисел
,
переход к шагу 2. Иначе – останов,
- множество решений ЗВМ.
Отметим, что на шаге 2 алгоритма множество может быть сформировано, например, как решение одной из следующих задач:
1)
где
– обобщенный критерий;
2)
где
– наиболее важный критерий для ЛПР. В
этом случае метод носит название метода
главного критерия.
7.2. Метод последовательных уступок
При
решении многокритериальной задачи
методом последовательных уступок
вначале производится качественный
анализ относительной важности частных
критериев, на основании которого критерии
нумеруются в порядке убывания важности:
Максимизируется первый по важности
критерий
и определяется его наибольшее значение
.
Затем назначается величина “допустимого”
снижения (уступки)
критерия
и ищется наибольшее значение
второго критерия
при условии, что значение первого
критерия должно быть не меньше, чем
Снова
назначается величина уступки Δ2
≥
0, но уже по второму критерию, которая
вместе с первой используется для
нахождения условного максимума третьего
критерия и т.д. На последнем шаге
максимизируется последний по важности
критерий
при условии, что значение каждого
частного критерия
не
меньше соответствующей величины
получаемые в итоге стратегии считаются
оптимальными.
Таким образом, запишем метод последовательных уступок решения ЗВМ в виде шагов алгоритма 2.
Алгоритм 2. Алгоритм решения ЗВМ методом последовательных уступок
Шаг
0.
Рассматривается задача векторной
максимизации (2);
– частные критерии задачи (
которые строго упорядочены по важности
:
;
– допустимое множество.
Шаг 1. Решение задачи:
Пусть
– оптимальное значение функции цели.
Назначается величина “допустимого”
снижения первого критерия
Шаг 2. Решение задачи вида:
Пусть
– оптимальное значение функции цели.
Назначается величина “допустимого”
снижения второго критерия
...
Шаг k. Решение задачи вида:
Пусть
– оптимальное значение функции цели.
Назначается величина “допустимого”
снижения k-го
критерия
...
Шаг М. Решение задачи:
(22)
Пусть
–
множество решений задачи.
Шаг М+1. Останов. – множество решений задачи (2) методом последовательных уступок.
Замечание
1.
Отметим, что при
принцип оптимальности, основанный на
методе последовательных уступок,
становится лексикографическим принципом.
Отметим, что решения, получаемые методом последовательных уступок, не всегда являются эффективными. Однако справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Если – единственная (с точностью до эквивалентности) точка, получаемая методом последовательных уступок, то она эффективна.
Доказательство. Предположим противное: вектор не является оптимальной по Парето точкой. Тогда существует вектор такой, что:
и
существует
Тогда
Y
удовлетворяет всем ограничениям задачи,
получаемой на шаге М алгоритма 2, причем
,
т.е.
также является решением задачи (22).
Получили противоречие с единственностью
.
Теорема доказана.
Несмотря на то, что не всегда решения, получаемые методом последовательных уступок, являются Парето-оптимальными, в некоторых случаях среди решений существует хотя бы одна эффективная точка. В связи с этим справедлива следующая теорема.
Теорема
2.
Если
–
множество замкнутое и ограниченное, а
все частные критерии
–
непрерывные функции, то среди решений,
получаемых методом последовательных
уступок, существует, по крайней мере,
одна эффективная стратегия.
Доказательство.
При выполнении условий теоремы множество
решений задачи (22) оказывается непустым,
замкнутым и ограниченным. Следовательно
существует точка
,
в которой функция
достигает наибольшего на значения.
Полученная стратегия является эффективной в исходной задаче (доказать самостоятельно). Теорема доказана.
Таким образом, согласно теореме 2, для получения эффективной точки среди решений, формируемых методом последовательных уступок, достаточно решить задачу:
То есть понятие эффективной стратегии позволило уточнить вычислительную процедуру отыскания оптимальных стратегий методом последовательных уступок. С другой стороны, методом последовательных уступок позволяет указать характеристическое свойство эффективных стратегий. Для этого докажем теорему 3, воспользовавшись результатами леммы 1.
Лемма 1. Если – эффективная стратегия, то она является решением задачи:
для
любого
Теорема
3.
Для любой эффективной стратегии
существуют такие числа
,
что эту стратегию можно получить методом
последовательных уступок, т.е.при
(
)
вектор
является единственным (с точностью до
эквивалентности) решением, получаемым
алгоритмом 2.
Доказательство. Сформируем величины по следующим правилам:
1)
где
–
оптимальное значение функции цели
задачи:
где
–
оптимальное значение функции цели
задачи:
М
– 1)
где
– оптимальное значение функции цели
задачи:
Тогда задача (22) М-го шага алгоритма 2 примет вид:
так что ее решениями, согласно лемме 1, являются лишь и эквивалентные ей точки.
Теорема доказана.
Теорема 3 показывает, что метод последовательных уступок, так же как и метод взвешенных сумм, может быть использован для построения множества Парето задачи векторной максимизации (2).
Приведем несколько примеров.
Пример 1. Решить задачу векторной оптимизации методом последовательных уступок:
Ω
=
если
Решение. Допустимое множество задачи изображено на рисунке 12.
Так как критерий важнее , то, согласно алгоритму 2, на первом шаге решаем следующую задачу:
(23)
Решением
частной задачи (23) является отрезок АВ,
где А = (0,3), В = (1,3), оптимальное значение
функции цели
На втором шаге алгоритма решаем задачу:
что равносильно задаче:
(24)
Допустимым множеством (24) является четырехугольник ABCD, решением задачи (24) – отрезок BC, где B = (1, 3), C = (1,6; 2,4).
Так как в исходной задаче два критерия, то отрезок BC является решением исходной ЗВМ. Однако следует заметить, что оптимальной по Парето является только точка В.
Пример
2.
Решить задачу векторной оптимизации
методом последовательных уступок, если
и
= 0,2,
= 0,3:
Ω
=
Решение. Допустимым множеством задачи, изображенным на рисунке 13, является многоугольник ABCDEF, где А = (0,0), B = (0,2), C = (2; 3,5), D = (3,5; 2,5), E = (4; 1,5), F = (3,0).
Решаем задачу:
(25)
Решением (25) является точка D = (3,5; 2,5), а = 2,5 + 3,5 = 6.
Решаем задачу:
то есть
(26)
Допустимое множество задачи (26) изображено на рисунке 14.
Решением
(26) является точка
,
являющаяся пересечением прямых:
и
.
Решая соответствующую систему, получаем: = (2,9; 2,9); = 2,9.
Решение задачи:
то есть:
(27)
Допустимое множество задачи (27) изображено на рисунке 15.
Решением
(27), а следовательно, и исходной ЗВМ,
является точка
пересечения прямых:
и
