Упражнения к § 1

№ 1. Представьте графически достижимую область в пространстве критериев для задач:

1)

2)

3)

№ 2. Для каждого из перечисленных векторов определите слабо и сильно доминирующие векторы:

№ 3. Определите, какие точки из таблицы эффективны.

Точки
	4	-2	3	7	-5
	9	3	-5	0	4
	0	0	0	2	-1
	-6	3	4	5	1
	4	1	3	9	0
	-2	-4	-1	-3	-2

§ 2. Графический метод проверки эффективности точки задач векторной оптимизации

Графический метод нахождения множества Парето основан на графическом построении множеств доминируемости точек допустимого множества задачи (2).

Рассмотрим ЗВМ, в которой n=2 и все частные критерии являются линейными функциями:

(5)

Определение 1. Назовем полуположительным сопряженным конусом, генерируемым k градиентами целевых функций, конус

Определение 2. Пусть Множество

называется множеством доминируемости точки

Таким образом, кроме точки множество доминируемости содержит все точки, критериальные векторы которых доминируют критериальный вектор точки Заметим, что по определению вектор CY доминирует нулевой вектор Сложение множеств приводит к переносу полуположительного сопряженного конуса из начала координат в рассматриваемую точку.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть - множество доминируемости точки Тогда для эффективности необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство.

1.Необходимость. Обозначим По построению - эффективна.

Покажем, что она единственный элемент множества

Предположим противное. Пусть существует точка причем По построению можно представить в виде:

Так как что противоречит предположению эффективности Следовательно, если - эффективная точка, то

1. Достаточность.

Пусть Докажем, что - эффективная точка.

Предположим противное. Пусть существует точка доминирующая т.е. такая, что Тогда можно представить в виде причем вектор Y принадлежит множеству в силу предположения о выпуклости Тогда Тогда Получили противоречие. Теорема доказана.

Алгоритм 1. Алгоритм графической проверки эффективности допустимой точки задачи векторной оптимизации.

Шаг 0. Пусть - допустимая точка задачи (5).

Шаг 1. Построение допустимого множества задачи (5).

Шаг 2. Построение полуположительного сопряженного конуса

Шаг 3. Построение множества доминируемости получаемого посредством параллельного переноса вершины конуса в точку

Шаг 4. Если - эффективная (Парето - оптимальная) точка, иначе – нет.

Отметим, что если задача (5) является двухкритериальной, то в некоторых случаях является удобным строить графическое решение соответствующей ей задачи (4) в критериальном пространстве.

Рассмотрим иллюстрирующие примеры.

Пример 1. Для задачи векторной максимизации с допустимым множеством, представленным на рисунке 4, и функциями цели

графически определить, какие из точек являются Парето – оптимальными.

Решение. Построим конус и параллельным переносом конуса в указанные точки допустимого множества найдем эффективные.

Рассмотрим множество

Представляющее собой пересечение двух полуплоскостей, образованных прямыми перпендикулярными векторам – градиентам целевых функций соответственно.

Исключим из множества C точки, лежащие на пересечении введенных прямых, и добавим точку 0=(0,0). Полученное множество является полуположительным сопряженным конусом

Параллельным переносом конуса в точки находим, что точки являются эффективными, а точки не являются эффективными.