5.2 Принцип максимальной эффективности и принцип гарантированного результата при заданном приоритете критериев

В предыдущем параграфе рассматривалась проблема решения ЗВМ принципами гарантированного результата и максимальной эффективности в случае, когда все частные критерии равнозначны для ЛПР. В данном параграфе рассмотрим описанные принципы оптимальности в случае, когда для каждого частного критерия можно построить коэффициент значимости , где

Тогда принцип гарантированного результата для задачи векторной максимизации (2) с заданным приоритетом критериев формулируется следующим образом:

ЗВМ с заданным приоритетом критериев решена, если найдена точка и максимальный уровень среди всех относительных оценок такие, что

(17)

Соответствующая (принцип максимальной эффективности) описывается следующей задачей:

(18)

Полученная задача (18) называется с приоритетом критериев.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решить ЗВМ принципом гарантированного результата.

.

Решение. Допустимое множество задач изображено на рисунке 9.

где A(0,3), B(1,4), C(2,4), D(3,3),F(3,2), G(2,0), O(0,0).

1. Первоначально решим частные задачи:

a)

,

;

,

;

b)

,

;

,

.

Нормированные критерии:

2. Построим достижимую область Q в пространстве критериев:

.

Достижимая область построена на рисунке 10 и представляет собой многоугольник, вершинами которого являются точки:

3. Рассмотрим функцию Тогда решением исходной задачи принципом гарантированного результата является точка допустимого множества, представляющая прообраз точки максимума функции.

Линии уровня функции представляют собой «прямые углы» с вершинами в точках (С,С), т.е. вершины «углов» лежат на прямой . Причем при удалении линий уровня вдоль луча L от начала координат получаем линии уровня, отвечающие большим значениям .

4. Решая графически задачу :

находим, что лежит на пересечении луча L и прямой проходящей через точки и . Следовательно, .

Для нахождения прообраза точки решим систему:

откуда получаем, что решением исходной задачи является точка

лежащая на отрезке [C,D] допустимого множества, .

Пример 2. Построить для следующей ЗВМ:

Решение. Допустимое множество и линии уровня целевых функций задачи изображены на рисунке 11.

1. Пронормируем критерии задач.

Рассмотрим решение частных задач:

a)

,

;

,

;

b)

,

;

,

.

Нормализованные критерии:

2. Искомая имеет вид:

Упражнения к §5

№1. Построить и решить для следующих ЗВМ:

1)

2)

3)

4)

По найденным значениям произвести сравнительный анализ степени противоречивости целевых функций задач 1) – 4).

№2. Для задачи векторной максимизации сформулировать принцип гарантированного результата, считая, что в качестве нормализованных критериев выбраны относительные отклонения . Выписать соответствующую .

№3. Для задачи

1. Выписать задачи с нормализованными критериями, в которых в качестве нормализованных критериев выбраны относительные оценки и относительные отклонения ;

2. Построить и , сформулировав принцип гарантированного результата для каждого из случаев.

№4. Построить для следующих ЗВМ:

1)

2)

3)

№4. Решить ЗВМ принципом гарантированного результата:

1)

2)

3)