5. Формулы алгебры предикатов сигнатуры
Напомним, что строго предикат можно определить как отображение n-ной степени предметного множества M, называемой местностью или арностью предиката в двухэлементное множество B = {1, 0}
.
Например, предикат
простого числа
задаётся правилом
и может быть определён на произвольном
числовом множестве. Всюду в дальнейшем
для краткости будем определять предикаты
записью
.
Для предикатов кроме логических операций алгебры высказываний вводятся операции утверждения общности и утверждения существования, называемые операциями связывания предметных переменных. С помощью этих операций из предикатов строятся формулы алгебры предикатов.
Например, для предиката делимости D(x,y): x нацело делится на y, определённого на множестве натуральных чисел , можно построить формулы алгебры предикатов, являющиеся высказываниями, так как обе предметные переменные в них связаны.
Высказывание
читается, как “для любого x
существует
y,
такое, что x
делится на
y”,
и является истинным высказыванием, так
как любое натуральное
x
делится на
себя и на 1, т.е. y
= x
или y
=1;Высказывание
читается, как “существует y,
на который делится любой x
”, и является
истинным высказыванием, так как на
значение y
=1 делится
любое натуральное
x;Высказывание
читается, как “существует x,
который делится на любое y”,
и является ложным высказыванием, так
как нет ни одного натурального числа,
которое делится на любое натуральное
число;Высказывание
читается, как “для любого y
существует
такой x,
что x
делится на
y”,
и является истинным высказыванием, так
как для любого натурального y
можно
указать множество значений
,
которые делятся на y.
Ряд важнейших понятий алгебры предикатов основывается на понятии модели.
Моделью
называется любое множество M
с заданными на нем предикатами
:
= < M ; >,
а набор s
= <
>
называется сигнатурой модели .
Любое утверждение в некоторой предметной области можно записать в виде формулы алгебры предикатов сигнатуры , выбрав соответствующее предметное множество и набор предикатов, определённых на нём, называемый сигнатурой модели. В качестве примера рассмотрим теоремы и определения из евклидовой геометрии. Предметным множеством M здесь является множество точек, прямых и плоскостей трёхмерного пространства.
Задание 5.1. Записать в виде формулы на модели
g=
< M
;
>
, где
, 
,
, 
,
,
следующие утверждения:
Через каждые 2 точки можно провести прямую.
Если 2 точки различны, то проходящая через них прямая единственна.
Через каждые 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость.
Определение параллельных прямых на плоскости.
Решение.
Данное утверждение можно сформулировать с использованием предикатов модели следующим образом: для произвольных двух точек существует прямая, на которой лежат эти точки. Запишем его в виде формулы
В дополнении к предыдущему утверждению здесь говорится, что если произвольные точки не совпадают, то построенная по ним прямая является единственной, т.е. любая другая прямая, проходящая через эти точки, совпадает с ней. Таким образом, получим формулу
Данное утверждение гласит, что если 3 точки не лежат на одной прямой, то существует плоскость, на которой лежат эти точки, причём любая другая такая плоскость совпадает с ней. Введём для краткости записи итоговой формулы вспомогательные формульные предикаты:
:
“x,
y,
z
не лежат на одной прямой“;
:
“ x,
y,
z
лежат на плоскости v“.
Запишем с их помощью утверждение задания
.
Напомним, что параллельными называются те прямые, которые лежат на одной плоскости и не имеют общих точек, либо совпадают, т.е.
.
Заметим, что в
предыдущих формулах все переменные –
связанные, т.е. формулы являются
высказываниями, принимающими значение
1. Данная формула является формульным
предикатом от переменных
,
который может принимать различные
значения для конкретных значений
переменных.