Контрольные вопросы и задания
1. Доказать полноту систем операций сведением системы к 0.
а) 1 = { , }; b) 2 = { , };
c) 3 = ; d) 4 = ;
e) 5 = {, }; f) 6 = {, }.
2. Представить формулу в виде полинома Жегалкина:
a)
x1
x3;
b)
x1
x2
;
c)
;
d)
.
3. Доказать полноту систем операций задания 1, используя необходимое и достаточное условие полноты.
4. Доказать неполноту систем операций:
а) 1 = { , , }; б) 2 = {};
в) 3 = { ,,,}.
5. Покажите, что система функций F = { f1, f2}, f1(x1, x2) = = x1~x2 , f2(x1, x2) = x1 x2 не является полной. Укажите все способы сделать эту систему полной добавлением одной не более чем двухместной функции.
4. Выводимость
Пусть задано
множество формул от высказывательных
переменных
(
),
(
),
. . . ,
(
).
(1)
Это множество формул назовем системой посылок.
Определение.
Формула
(
)
называется выводимой из системы формул
(1) в алгебре высказываний, что обозначается
,
. . ,
,
тогда и только тогда, когда формула
(2)
является ТИ-высказыванием.
Непосредственное доказательство выводимости формулы по определению сводится к уже известной задаче доказательства тождественной истинности формулы (2) (см. п. 1). Помимо этого способа существует эквивалентное необходимое и достаточное условие выводимости формулы: вхождение всех полных элементарных дизъюнкций формулы в СКН-форму формулы
.
(3)
На основе этого условия сформулируем алгоритм доказательства выводимости формулы.
Из системы посылок (1) строится конъюнкция (3).
Находим СКН-форму от высказывательных переменных для формулы (3).
Строим СКН-форму для формулы и проверяем вхождение полных элементарных дизъюнкций СКН-формы для формулы в СКН-форму для формулы (3).
Задание 4.1. Доказать
выводимость
.
Решение.
Обозначим
=
X,
=
.
Строим их конъюнкцию
.Найдем СКН-форму
эквивалентную этой конъюнкции.
V
Получим СКН-форму для формулы B
.
Так
как обе дизъюнкции входят в СКН-форму
,
то выводимость доказана.
Задание 4.2. Найти все формулы, выводимые из системы посылок задания 4.1.
Решение. Построим
различные комбинации полных элементарных
дизъюнкций
формулы
.
Как
легко видеть, при построении всех
СКН-форм, выводимых из данной системы
посылок, мы получили, как частный случай,
формулу
.
Контрольные вопросы и задания
Показать выводимость формул в алгебре высказываний, используя определение выводимости (1 – 6).
X Y, Y Z X Z
X (Y Z) Y (X Z)
X ® Y, Y ® Z, X Z
X ® Y,
X ® (Y ® Z), X ® Y, X Z
X,
Доказать выводимость формул в алгебре высказываний, используя СКН-формы (7 – 15).
Z Y ®
(A B) C A (B C)
A ® B (B ® C) ® (A ® C)
U ® B (G U) ® (G Ù B)
U ® B (G U) ® (G B)
A B (A B)
Построить множество формул, выводимых из данной системы посылок (16 – 19).
