МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО
“Воронежский государственный УНИВЕРСИТЕТ
ИНЖЕНЕРНЫХ технологиЙ”
Кафедра информационных технологий,
моделирования и управления
АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ПРЕДИКАТОВ
Методические указания
к практическим занятиям
Для студентов, обучающихся по направлению
09.03.02 – “Информационные системы и технологии”
очной формы обучения
ВОРОНЕЖ
2015
УДК 517.11(075.8)
Алгебры высказываний и предикатов [Электронный ресурс] : метод. указания к практическим занятиям / Воронеж. гос. ун-т инж. технол.; сост. Ю. В. Бугаев, И. Ю. Шурупова. – Воронеж: ВГУИТ, 2015. – 28 с. – [ЭИ]
Методические указания разработаны в соответствии с требованиями ФГОС ВО подготовки выпускников по направлениям 09.03.02 – “Инфор-мационные системы и технологии”. Они предназначены для закрепления теоретических знаний дисциплины по выбору “Математическая логика и теория алгоритмов” вариативной части блока Б1. Работа содержит методику выполнения практических заданий и варианты заданий для самостоятельной работы.
Библиогр.: 6 назв.
Составители: профессор Ю.В. БУГАЕВ,
доцент И.Ю. ШУРУПОВА
Научный редактор доцент Л.А. КОРОБОВА
Рекомендуется к размещению
в ЭОС и ЭБ ВГУИТ
Бугаев Ю.В., Шурупова И.Ю.
2015
ФГБОУ ВПО “Воронежский
государственный университет
инженерных технологий”, 2015
Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежского государственного университета инженерных технологий, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия университета запрещается.
Цель занятий - овладение основными понятиями и методами алгебры высказываний и логики предикатов, выработка навыков решения практических задач.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование компетенции:
способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОПК-2).
Формулы алгебры высказываний. Эквивалентность и преобразование формул
Напомним определение формулы алгебры высказываний. Формулами алгебры высказываний являются:
1) логические константы 0 и 1;
2) пропозициональные переменные;
3) если U и V – формулы, то каждое из выражений ( U), (U) (V), (U) (V), (U) (V), (U) ~ (V) есть формула;
4) других формул, построенных не по пп. 1) - 3), нет.
Для проверки свойств эквивалентности, выполнимости, опровержимости, тождественной истинности и ложности формул могут использоваться таблицы истинности. Для построения таблицы истинности формулы воспользуемся следующим алгоритмом.
1. Пронумеровать простые высказывания в алфавитном порядке.
2. Для каждого элементарного высказывания рассмотреть все возможные наборы значений истинности. Всего возможно 2n комбинаций, где n - число элементарных высказываний. Это количество строк в таблице.
3. Пронумеровать сложные высказывания, содержащие одну логическую операцию, затем сложные высказывания, содержащие две логических операции, и т.д., увеличивая сложность высказываний в соответствии с порядком выполнения операций.
4. Вычислить значения истинности всех сложных высказываний. Столбец с последним номером будет содержать значение истинности для всей логической формулы.
Задание 1.1. Построить таблицу истинности формулы
(А В) А С.
Решение.
1. Пронумеруем простые высказывания в алфавитном порядке А-1, В-2, С-3.
2. Каждый набор значений истинности элементарных высказываний изобразится набором 000, 001, 010 и т. д. Для нашего примера число комбинаций равно 8-ми, то есть таблица истинности будет содержать 8 строк.
3. Пронумеруем сложные высказывания формулы: АВ - 4; ( - 5; - 6; С - 7; конечная операция - 8.
4. Вычислим последовательно значения истинности сложных высказываний.
( B |
|
С |
||||||
5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
6 |
1 |
7 |
3 |
0 0 1 1 1 1 1 1 |
1 1 1 1 0 0 0 0 |
1 1 0 0 0 0 0 0 |
1 1 0 0 1 1 0 0 |
1 1 1 0 1 1 1 1 |
0 0 0 0 1 1 1 1 |
1 1 1 1 0 0 0 0 |
1 0 1 0 1 1 1 1 |
1 0 1 0 1 0 1 0 |
Анализируя истинностные значения формулы, содержащиеся в столбце 8, получим, что данная формула является и выполнимой, и опровержимой, и, следовательно, не тавтология и не противоречие. Для проверки эквивалентности формул строятся их таблицы истинности на одинаковых интерпретациях.
Однако такой способ очень громоздок, поэтому в дальнейшем решать такие задачи будем с помощью эквивалентных преобразований, используя основные тавтологии 1-13 (см. лекции или учебное пособие).
Задание 1.2. Доказать эквивалентность формул
.
Решение.
Двойственная формула доказывается аналогично. В дальнейшем при проведении преобразований формул эти законы, называемые законами обобщенного склеивания, будут часто использоваться, поэтому добавим их под номером 14 в список основных тавтологий.
Задание 1.3. Доказать эквивалентность формул
(A B) (B C) (C A) (A B) (B C) (C A).
Решение.
(A B) (B C) (C A) (B (A C)) (C A)
(B (C A)) (A C (C A)) (B C) (B A) (A C).
Как легко видеть, последняя формула цепочки эквивалентна формуле правой части задания в силу коммутативности операций и . Данные формулы являются самодвойственными.
Для того чтобы воспользоваться тавтологиями 1-14 требуется привести формулу к приведенному виду. Определим порядок построения приведенной формулы.
Удаляются операции импликация и эквиваленция по формулам 11, 12.
Операции отрицания спускаются до высказывательных переменных с помощью законов де Моргана и двойного отрицания.
В дальнейшем, если это возможно, полученная приведенная формула упрощается с помощью свойств 3, 4, 5, 6, 9, 10.
Задание 1.4. Доказать тождественную истинность формулы
(P R) ((Q R) ((P Q) R)).
Решение.
(P R) ((Q R) ((P Q) R))
(
)
((
)
((P
Q)
R)
(
)
(
)
(
)
R
R
P
(
)
(
)
R
P
Q
(
)
R
P
Q
R
Q
1
1.
Начиная с 3-й, все формулы цепочки преобразований являются приведёнными.
Задание 1.5. Упростить схему
Решение. Запишем формулу, соответствующую схеме, по приведенным выше правилам
U
=
.