Контрольные вопросы.
Дать определение производной функции в точке х.
Геометрический смысл производной.
Правила дифференцирования.
Формулы дифференцирования.
Дифференцирование сложной функции.
Дифференциал функции.
Геометрический смысл дифференциала.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Возрастание и убывание функции.
Экстремум функции.
11. Максимум функции.
Минимум функции.
Критические точки функции .
Необходимый признак экстремума функции.
Достаточный признак экстремума функции.
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Выпуклость и вогнутость графика функции.
Достаточное условие выпуклости и вогнутости графика функции на интервале.
Точки перегиба, их отыскание.
Асимптота к графику функции.
Горизонтальные и вертикальные асимптоты. Их нахождение.
Наклонные асимптоты. Нахождение углового коэффициента и свободного члена.
Общая схема исследования функции.
Примеры типовых задач.
Пример 1. Провести исследование функции и построить ее график.
Исследуем данную функцию, придерживаясь следующей схемы.
Областью определения функции является область
.
Функция принимает положительные значения в интервале и отрицательные в интервале .
Точки пересечения графика данной функции с осью Oy - (0; -9/4), с осью Ox - (-3;0).
Находим, что - вертикальная асимптота, так как:
Находим наклонные асимптоты :
Таким образом, существует единственная наклонная асимптота .
Исследуем функцию на возрастание, убывание, экстремумы:
Если
,
то .
Откуда
являются критическими точками.
На
интервале
, следовательно,
функция возрастает на этом интервале.
На интервале , т. е. функция убывает.
Следовательно функция в точке
имеет
максимум: . На интервале , следовательно,
функция убывает на этом интервале; на
интервале
, т.
е. функция возрастает. В точке функция
имеет минимум:
.
Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем
Очевидно,
что на интервале
,
и на этом интервале кривая выпукла; в
, т. е. на этом интервале кривая вогнута.
Так как при функция не определена, то точка перегиба отсутствует.
Согласно проведенному исследованию схематично изобразим график функции (рис.1)
Рис.
1. График функции
Пример 2. Провести полное исследование функции и построить ее график.
Воспользуемся общей схемой исследований функции.
Область определения функции .
Так как
при
,
то
график функции проходит через начало
координат.Функция принимает положительные значения на интервале и отрицательные на интервале .
Вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные асимптоты:
Получаем горизонтальную асимптоту .
Так как
,
то функция нечетна и ее график симметричен
относительно начала координат.Найдем промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы функции:
Если , то , следовательно критические точки функции , .
Эти точки разбивают область определения на три интервала: На и функция в этом интервале убывает. На и функция в этом интервале возрастает. На и функция в этом интервале убывает. В точке имеем минимум:
,
а в точке – максимум,
.
Исследуем свойства функции, связанные со второй производной:
Если
, то . Отсюда 
- крит
ические точки II
рода.
В
интервале
,
т. е. кривая выпукла на этом интервале;
на
,
т. е. кривая вогнута; в , кривая выпукла;
в
кривая
вогнута. Так как в точках
вторая производная
меняет
знак, то при этих значениях
на
графике функции получаем точки перегиба,
ординаты которых
,
Полученные данные позволяют построить график функции, изображенный на рис. 2.
Рис.
2. График функции
.
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
Находим критические точки:
Приравниваем
,
получаем уравнение:
Если
, то
если
же
то
.
Из
всех найденных критических точек только
и
принадлежат отрезку .
Вычислим
значения данной функции при 
.
Следовательно, наибольшего значения на отрезке
данная
функция достигает в точке 
,
а наименьшего – в точках и ; .
Пример 4. Построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением . Записать уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Полюс полярной системы совпадает с началом координат прямоугольной системы, направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси Ох.
Найдем область определения функции:
так
как , то , 
Область определения функции :.
Найдем
период функции . Период функции равен
следовательно для функции
период .
Исследуем
поведение соответствующей функции
на промежутке .
.
Критическая
точка
принадлежит
отрезку
.
.
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из таблицы следует, что для кривой в полярных координатах для при полярном угле , возрастающем от до полярный радиус увеличивается от 0 до 2; при угле , возрастающем от до полярный радиус уменьшается от 2 до 0.
На
основании исследования изобразим эту
кривую в полярных координатах в
соответствии с периодом и областью
определения на промежутках:
,
(рис.3).
Рис.
3. Кривая
Получим уравнение кривой в прямоугольной системе координат.
Выразим прямоугольные декартовы координаты через полярные:
Следовательно:
Так как , то подставляя в уравнение выражение и имеем:
или
.