2.Теория малых колебаний и устойчивость движения

Многие технические проблемы и задачи естествознания приводили к исследованию задачи о малых колебаниях системы: задача о колебании математического, затем физического маятника, теория колебания нематериальной струны с несколькими нанизанными материальными точками, теория прецессии и нутации Земли: теория качки корабля около центра масс и другие.

По поручению Петербургской Академии наук в 1737 г. Эйлер начал исследование о равновесии и движении корабля; через 30 лет его теоретические расчеты были им доведены до конкретных рекомендаций. В центре внимания исследователя оказалась проблема устойчивости корабля при качке (в русском переводе XVIII в. фигурировал термин «твердостояние»). В 1749 г. в Петербурге вышел двухтомный трактат Эйлера по этой проблеме — «Корабельная наука», в котором заложены основы двух важных и близких друг к другу разделов механики — учения о статической устойчивости и теории малых колебаний около положения равновесия. Первый том посвящен построению общей теории устойчивости для плавающего тела, второй—дает приложение этой общей теории к частному случаю — плавающему кораблю с его специфическими формами. Эйлер развивает способ расчета моментов восстанавливающих сил, фактически разрабатывая аналитическую теорию устойчивости плавающего тела, основы которой были заложены в трудах Архимеда и Стевина. Устойчивость, по Эйлеру, трактуется как некоторая количественная характеристика положения равновесия, пропорциональная моменту восстанавливающих сил при бесконечно малом отклонении тела от начального положения. Кроме теории статической устойчивости Эйлер обосновывает в книге второй подход: определить длину простого математического маятника, период малых колебаний которого был бы таким же, как период малых колебаний тела. Второй подход приводил к дифференциальным уравнениям движения тела, которые после линеаризации превращались по виду в уравнения свободных гармонических колебаний точки.

Даламбер разработал теорию малых колебаний для различных конкретных приложений: для малых колебаний маятников (простых и составных), для плавающих тел, для колебания твердого тела около закрепленной точки или центра инерции, для колебания материальной точки на пружине и пр. Однако общей теории малых колебаний Даламбер не создал.

Лагранж в первом издании «Аналитической механики» (1788) наметил пути построения общей теории малых колебаний консервативной системы со стационарными условиями. Он рассматривал задачи о колебании струны, несущей одну, затем множество материальных точек, позже его интересовали задачи о вековых возмущениях элементов планетных орбит в связи с проблемой устойчивости планетной системы. При подготовке ко второму изданию трактата Лагранж существенно переработал и дополнил эту теорию.

Составляя дифференциальные уравнения возмущенного движения (т. е. колебаний), Лагранж удерживает только линейные члены уравнения. Полученную систему дифференциальных уравнений (линейных, с постоянными коэффициентами) Лагранж преобразует к эквивалентной системе, выражая прежние координаты через новые независимые переменные (позже их назвали «нормальными координатами»). Каждое уравнение новой системы содержит только одну нормальную координату, представляя уравнение свободных гармонических колебаний типа:

,

где ε, Е — произвольные постоянные, k — квадрат нормальной частоты, — нормальная координата. Общее решение строится как линейная комбинация частных решений, одно из которых было выписано выше. Алгебраическое уравнение (типа векового уравнения), корнями которого были бы квадраты нормальных частот, явно не выписывается Лагранжем, но способ его составления им указан.

Здесь появляется некая форма нормально-частотного критерия устойчивости, лишь затронутая, но не сформулированная ранее Даламбером: «Так как приведенное выше решение основано на допущении, что переменные , φ, ψ... представляют собой очень малые величины, то для того, чтобы это решение было законным, требуется, чтобы указанное допущение фактически осуществлялось; а это требует, чтобы все корни (уравнения для квадрата нормальной частоты) были вещественными, положительными и неравными между собою, с тем, чтобы время /, возрастающее до бесконечности, всегда находилось под законом синуса или косинуса. Если бы некоторые из этих корней были отрицательными или мнимыми, то вместо соответствующих синусов или косинусов они ввели бы вещественные экспоненциальные величины, а если бы они были просто равны между собой, то ввели бы алгебраические степени дуги... так как изложение этих случаев не представляет интереса для рассматриваемого нами вопроса, то мы на нем не будем останавливаться».

Задерживая свое внимание лишь на случае вещественных положительных неравных квадратов частот k’, k", ..., Лагранж еще раз указывает на возможность тригонометрического представления решения уравнений. Отсюда вытекает утверждение о том, что наибольшее значение истинных координат относительно положения равновесия не превосходит по модулю суммы модулей амплитуд нормальных колебаний, зависящих лишь от постоянных — начальных условий. Фактически речь идет об устойчивом состоянии равновесия системы.

Приведенный текст Лагранжа означает, что в случае кратности корней частотного соотношения в решении системы дифференциальных уравнений возмущенного движения появятся члены, содержащие множитель времени t перед знаком синуса или косинуса аргумента. Это означало бы, по мнению Лагранжа (ранее такое же мнение высказал Даламбер), неограниченное возрастание координаты, т. е. неустойчивость малых колебаний системы. Авторитет Даламбера и Лагранжа, а вслед за ними присоединившихся к высказанному мнению Лапласа с Пуассоном обусловили живучесть этого неправильного взгляда на неустойчивость малых колебаний около положения равновесия (до середины XIX в.).

Лишь в 1858—1859 гг. почти одновременно и независимо друг от друга Вейерштрасс и Сомов различными методами доказали ошибочность приведенного выше утверждения.

Мемуар О. И. Сомова, в котором мы находим верное разрешение парадокса Даламбера — Лагранжа, назывался «Об алгебраическом уравнении, с помощью которого определяются малые колебания системы материальных точек». В вводной части мемуара автор пишет: «В мемуаре, который я имею честь представить Академии, я показываю с помощью примеров, что уравнение, о котором идет речь, может иметь кратные корни, но что это никоим образом не влечет за собой необходимости, чтобы время имелось вне знака синуса или косинуса в общих интегралах уравнений движения. Далее я даю доказательства вещественности корней уравнения, рассматриваемого во всей своей общности. Наконец, я показываю, как должно образовывать общие интегралы уравнения движения в случае равных корней; и выясняю, почему время не фигурирует вне знаков синуса или косинуса».

Вейерштрасс и Сомов различными методами доказали, что не всегда наличие кратных корней частотного уравнения влечет за собой неустойчивость колебаний. В случае, если система уравнений движения допускает расщепление на подсистемы низшего порядка, существование кратных корней влечет за собой лишь совпадение периодов колебания в отдельных подсистемах и не приводит к неустойчивости.

Существенный успех теории устойчивости был достигнут в связи с решением технической задачи о действии центробежного регулятора паровой машины. Теория такого регулятора оказалась связанной с проблемами точного приборостроения, в частности с теорией действия регулятора часового механизма, соединенного с подвижной астрономической трубой. В 1840 г. появилась первая работа, относящаяся к названной проблеме, принадлежащая английскому астроному Дж. Эри. В 1868 г. Максвелл в работе «О регуляторах» проводит анализ устойчивости в задачах о действии регулятора паровой машины и регулятора часового механизма.

Внутреннюю связь проблемы устойчивости с теорией малых колебаний системы раскрыл в своих фундаментальных исследованиях по теории центробежных регуляторов профессор, директор Петербургского технологического института И. А. Вышнеградский. В работе «О регуляторах прямого действия» (1877) Вышнеградского заложены основы будущей теории автоматического регулирования. Его идеи получили дальнейшее развитие в трудах Жуковского, Грдины, Стодолы и других ученых.

Развитие классической теории устойчивости по первому приближению было завершено в 70—80-х годах XIX в. трудами Э. Рауса (Англия) и Н. Е. Жуковского. Раус в «Трактате об устойчивости заданного состояния движения» (1877) исследует устойчивость движения; Жуковский в докторской диссертации «О прочности движения» A882) исследует орбитальную устойчивость, рассмотрев много частных примеров (движение точки по плоскости под действием центральной силы, движение точки под действием двух притягивающих центров, вращательное движение волчка, задача трех точек и др.).

Чрезвычайно большую роль для небесной механики сыграли исследования А. Пуанкаре устойчивости установившихся состояний движения тел Солнечной системы. В трактате «Новые методы небесной механики» (1892) Пуанкаре рассматривает также и неустановившиеся движения в случае, если невозмущенное движение является периодическим и коэффициенты уравнений первого приближения представляют собой периодические функции времени. Методы исследования вопроса об устойчивости траектории точки выходят за рамки обычных; без знания интегралов уравнений движения Пуанкаре проводит качественный анализ поведения решений этих уравнений.

Выдающуюся роль в дальнейшем развитии теории устойчивости сыграли замечательные по глубине исследования Александра Михайловича Ляпунова (1857—1918).

В докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения» (1892) Ляпунов рассматривает дифференциальные уравнения возмущенного движения общего вида. Со всей строгостью рассмотрен вопрос: в каких случаях исследование линейных уравнений первого приближения дает полное решение задачи.

Ляпунов сформулировал основные понятия и дал постановку задачи строгой теории устойчивости К Анализ обыкновенных случаев, когда первое приближение решает вопрос до конца, не исчерпывал исследования; в монографии рассмотрен также ряд более сложных случаев. Были изучены некоторые нелинейные уравнения, для которых существуют периодические решения. Ляпунов разработал два основных метода исследования устойчивости. Первый основан на интегрировании дифференциальных уравнений возмущенного движения при помощи бесконечных рядов специального вида (ряды Ляпунова — Пуанкаре). Второй метод связан с построением некоторой функции V обобщенных координат и времени, обладающей некоторой закономерностью знаков (еще требовалась определенная закономерность знаков ее полной производной по времени). Обобщенные скорости в выражении полной производной функции V по времени должны удовлетворять дифференциальным уравнениям движения. Этот метод был своеобразным обобщением подхода Лагранжа — Дирихле к доказательству теоремы об устойчивости положения равновесия консервативной системы, о чем говорит сам автор.

Трактат Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» сыграл исключительно важную роль в развитии теории устойчивости для качественной теории дифференциальных уравнений, для решения задач техники и небесной механики. Последующее развитие теории устойчивости, основы которой заложил Ляпунов, касалось развития понятия устойчивости на конечном промежутке времени, расширения методов теории на случай наличия возмущения правых частей дифференциальных уравнений. Подлинная разработка методов Ляпунова началась в нашей стране в 20-е годы XX в.