1.Аналитическая динамика в XIX в.

Методы аналитической механики Лагранжа завершили важный этап развития учения о равновесии и движении механических систем с голономными связями. Была найдена единая формула механики, позволяющая вывести общие свойства равновесия систем, записать дифференциальные уравнения движения систем с конечным числом степеней свободы или сплошной среды. В XIX в. одной из главных проблем аналитической динамики стала разработка общих методов интегрирования дифференциальных уравнений движения.

Важнейшее значение в связи с этим приобрели работы ирландского ученого В. Гамильтона (1805—1865). В исследованиях30-х годов он сводит задачу об интегрировании уравнений движения консервативной системы свободных материальных точек к определению одной функции (которую он назвал характеристической) представляющей

,собой действие в вариационном принципе Лагранжа. Несколько позже он ввел

так называемую главную функцию: , или

,

где h—полная энергия консервативной системы, U — силовая функция системы. Гамильтон показывает, что функция W удовлетворяет уравнению в частных производных:

где Н — получила название функции Гамильтона. Она зависит от обобщенных координат и обобщенных импульсов следующим образом:

Гамильтон устанавливает связь решения уравнения в частных производных (*) с решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений движения в канонической форме:

где k=1, 2, .., n — число свободных точек у Гамильтона. Позже этот метод был распространен на произвольные системы со стационарными условиями и консервативными силами, тогда число канонических координат стало равно удвоенному числу степенен свободы системы.

Среди результатов Гамильтона, полный обзор которых здесь трудно дать, важное место занимает принцип стационарного действия. Количество действия, по Гамильтону, совпадает с его главной функцией S. Действие S на любом отрезке АВ истинногодвижения системы принимает стационарное значение (первая вариация действия равна нулю), если в качестве сравнимых движений рассматриваются такие, траектории которых начинаются в точке A и оканчиваются в точке В в соответственно одинаковые моменты времени. При этом Гамильтон замечает, что полная энергия системы на сравнимых траекториях может быть различной, тогда как в принципе наименьшего действия эта величина была одинаковой для всех сравнимых траекторий. Теория Гамильтона нашла приложения в небесной механике и оптико-механической аналогии.

Среди многочисленных интересных работ, в которых развивались методы аналитической динамики Гамильтона в XIX в., особое значение имеют исследования К. Якоби (1804—1851), изложенные в «Лекциях по динамике», прочитанных в 1842/43 г.

в Кенигсбергском университете. Якоби выводит из вариационного принципа Гамильтона основные уравнения движения в форме Лагранжа, затем он преобразует их в канонические уравнения для переменных q и р (обобщенных координат и обобщенных импульсов), распространяя результаты на системы, подчиненные геометрическим связям.

Важным оригинальным вкладом Якоби является разработка теории «Последнего множителя», некоторого обобщения интегрирующего множителя Эйлера. Якоби исследует свойства множителя с помощью теории функциональных определителей, носящих теперь его имя. Множитель Якоби позволяет ограничиться нахождением всех интегралов дифференциальных уравнений Гамильтона, кроме одного. Недостающий интеграл системы найдется квадратурой. Якоби существенно переработал метод Гамильтона, позволяющий связать решения некоторого уравнения в частных производных с решением системы канонических уравнений движения. В качестве уравнения в частных производных Якоби рассмотрел уравнение

Если известен полный интеграл этого уравнения, то общее решение системы канонических уравнений Гамильтона можно найти. В качестве приложений этой теории Якоби дал решение задачи о движении точки под действием ныотонианского притяжения двумя неподвижными центрами (примерно столетием раньше такуюзадачу иным способом решил Эйлер) и задачи о движении материальной точки по гладкой поверхности эллипсоида без действия активных сил.

В тот же период, что и Якоби, разработкой аналитического аппарата динамики, основанного на вариационных принципах механики, занимался выдающийся русский ученый М. В. Остроградский. В мемуарах «О мгновенных перемещениях систем, подчиненных переменным условиям» и «О принципе виртуальных скоростей и о силе инерции» х Остроградский дает оригинальную трактовку возможных перемещений точек системы со связями общего типа, в частности с нестационарными связями.

Ощутимый вклад внес Остроградский в развитие классического метода Лагранжа вариации произвольных постоянных, дав вывод дифференциальных уравнений возмущенного движения тела с помощью скобок Пуассона (обобщение скобок Лагранжа) для произвольных постоянных интегрирования уравнений невозмущенного движения тела. В обстоятельной работе «Об интегралах общих уравнений динамики» Остроградский распространяет теорию Гамильтона — Якоби, связывающую полный интеграл уравнения в частных производных с проблемой интегрирования системы канонических уравнений динамики, на случаи систем с нестационарными связями.

В «Мемуаре о дифференциальных уравнениях проблемы изопериметров» Остроградский существенно переработал и обобщил принцип стационарного действия Гамильтона, впервые показав, что канонические уравнения являются нормальной формой любых дифференциальных уравнений, возникающих из вариационной проблемы динамики.

Для систем со связями, зависящими от времени Остроградский вывел вариационный принцип стационарного действия (получивший название принципа Гамильтона — Остроградского) в качестве частного случая решения более широкой

вариационной задачи К Он показал, что справедливость канонических уравнений для обобщенной функции Гамильтона , связанной с кинетическим потенциалом L соотношениями , эквивалентна требованию равенства нулю первой вариации действия по Гамильтону — Остроградскому;

,

где L — функция t, обобщенных координат q и их производных повремени .

Некоторое время после введения этого вариационного принципа его считали видоизменением принципа наименьшего действия Лагранжа. В работах русских ученых 1860-х годов (Ф. А. Слудского, М. И. Талызина) показано, что принцип наименьшего действия Эйлера — Лагранжа и принцип стационарного действия Гамильтона— Остроградского существенно различны, так как им соответствуют различные вариации. В принципе наименьшего действия в формах Эйлера, Лагранжа или Якоби допустимые движения характеризуются совпаденияхМ крайних положений движений и тем (это четко подчеркнул Сомов), что первая вариация полной энергии на всех сравниваемых траекториях равна нулю. Таким образом, принцип наименьшего действия — изоэнергетический принцип, принцип стационарного действия — изохронный.

Значительный вклад в исследование сущности и различия двух вариационных принципов механики внесли русские ученые XIX в. И. Д. Соколов, В. П. Ермаков, Г. К. Суслов, Д. К. Бобылев выяснили, при каких условиях действие является минимальным. Суслов и Воронец обобщили принцип стационарного действия Гамильтона —

Остроградского на случай систем с неголономными связями. Бобылев отмечал, что принцип стационарного действия более широк, чем принцип наименьшего действия; уже в конце XIX в. принцип Гамильтона — Остроградского нашел применение в теории упругости, гидродинамике, в электродинамике и теории магнетизма. Бобылев предвидел, что этот принцип имеет большие перспективы в математической физике.

Уже говорилось о том, что методы Гамильтона, Якоби, Остроградского не были только математическими теориями: сначала эти методы имели приложения в небесной механике, затем вышли за пределы механики, завоевав широкое признание физиков благодаря оптикомеханической аналогии. Квантовая механика существенно опирается на основные идеи аналитической динамики; видоизмененный аппарат теории Гамильтона — Якоби применяется при исследовании движения элементарных частиц, при изучении структуры атома.

Другой важной стороной теории Гамильтона — Якоби явились исследования свойств так называемых «канонических преобразований». Якоби показал, что характеристическая функция Гамильтона — частный случай функции, производящей касательное преобразование канонических уравнений. Норвежский ученый второй половины XIX в. С. Ли ввел групповые представления в теорию канонических преобразований, установил связь касательного преобразования с задачей возмущенного движения.

Несколько в стороне от главного направления развития аналитической механики находится локально-вариационный принцип Ф. Гаусса (1777—1855). В 1829 г. в замечательной работе «Об одном новом общем основном законе механики», состоящей всего из четырех страниц, Гаусс, выдающийся немецкий математик, глубокий знаток астрономии, геодезии, теории магнетизма, формулирует новый принцип механики — принцип наименьшего принуждения: «Движение некоторой системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подчиненных одновременно произвольным внешним ограничением, совершается в каждое мгновение в наибольшем возможном согласовании со свободным движением, или же при наименьшем возможном принуждении, причем в качестве меры принуждения, которую испытывает вся система в каждый момент времени, рассматривается сумма произведений квадратов отклонений каждой точки от ее свободного движения на массы этих точек».

Мера принуждения ,

где m, m', m" — массы точек, a, a', a" — положения их в момент времени t. Положения, которые эти точки примут по истечении элемента времени dt под действием активных сил, даже если были ненулевые начальные скорости (в предположении свободного движения точек), обозначены через b, b', b". Истинные положения точек по истечении того же элемента времени в связанном движении обозначены черезс,c',с". Минимальность принуждения для истинного движения по сравнению с кинематический возможными следует из того, что связи могут быть самыми общими (в том числе неудерживающими), т. е. отклонения (и принуждение) могут стать сколь угодно большими.

Чрезвычайно интересно замечание Гаусса, выявляющее внутреннюю связь его принципа с методом наименьших квадратов. «Является весьма замечательным, что свободные движения, если они при наличии имеющихся условий системы не могут иметь места, модифицируются природой в точности таким образом, как вычисляющий математик, пользуясь способом наименьших квадратов, выравнивает результаты эксперимента, относящиеся к величинам, связанным между собой некоторой заданной зависимостью».

Внимание многих ученых XIX в. было привлечено к этому новому вариационному принципу механики. В следующие десятилетия после опубликования принципа Гаусса в работах Ф. Мѐбиуса и А. Риттера была дана разработка этого принципа в приложении к задачам отбора истинных положений равновесия (т. е. к статике) для систем с удерживающими и неудерживающими связями.

В 1858 г. Г. Шеффлер дал аналитическую запись принципу наименьшего принуждения Гаусса. Величина принуждения вычисляется в координатной форме. Если на точку массой ти принадлежащую связанной системе, действуют активные силы с проекциями Х_i, Y_i, Z_i и начальная скорость в каждой точке имеет проекции х_i, y_i, z_i то по истечении элемента времени dt точка в свободном движении придет в положение с координатами (выпишем только одну из них): здесь удерживаются только члены до второго порядка малости. Координата точки по истечении того же времени в истинном связанном движении системы записывается в виде:

где — проекции ускорения точки (выписана лишь одна координата). Вычитанием этих двух выражений Шеффлер получает проекцию «отклонения» точки в истинном движении от свободного движения в течение бесконечно малого промежутка времени dt. Далее он умножает квадраты этих отклонений на соответствующие массы точек, суммирует по точкам и координатам и получает выражение «принуждения»:

.

После этого принцип Гаусса выражается как условие локальной минимальности принуждения по отношению ко всем кинематический возможным движениям (из тех же положений с теми же начальными скоростями). Варьированию подвергаются только проекции ускорений точек. Формально окончательная запись принципа Гаусса — Шеффлера выражает не только условие минимальности принуждения:

Остроградский трактует принцип наименьшего принуждения Гаусса как принцип наименьшего давления на связи точек системы в истинном связанном движении (по отношению к сравнимым движениям). Последователь Остроградского профессор Киевского университета Рахманинов в 1870-х годах придал тому же принципу форму принципа наименьшей потерянной работы. Герц в книге «Принципы механики, изложенные в новой связи» (1894) придает новую форму принципу Гаусса, трактуя его как принцип наименьшей кривизны истинной траектории, описываемой системой в пространстве п измерений. Гиббс в 1879 г. вывел уравнения движения неголономных систем из принципа Гаусса. В 1899 г. по сути те же уравнения, что и Гиббс, независимо от него, вывел Аппель:

где U — силовая функция, S — по наименованию Аппеля энергия ускорений, которая выражается через ускорения так же, как кинетическая энергия через скорости:

Вместе с дифференциальными уравнениями движения (1) уравнения неголономных связей дают полную систему уравнений, соответствующую числу неизвестных (т. е. обобщенных координат). Как и Гиббс, Аппель исходил из принципа Даламбера (принцип Гаусса являлся его следствием), хотя путь преобразований Аппеля иной. Аппель разработал ряд различных применений и теорем, вытекающих из уравнений движения неголономной системы. На два года ранее Аппеля динамикой неголономных систем занимался Чаплыгин.

Критические замечания представителей конкретных прикладных областей механики в адрес аналитиков, начавшиеся во второй половине XIX в., усиливаются в XX в. Приведем одно из высказываний американского ученого К. Трусделла в адрес Лагранжа — родоначальника аналитической механики: «В конце столетия существовала удручающая тенденция отворачиваться от основных проблем как в механике, так и в чистом анализе. Вопреки великой традиции Якова Бернулли и Эйлера, этот формализм быстро укреплялся в французской школе и нашел отображение в «Аналитической механике»... Как следует из ее названия, «Аналитическая механика» — не трактат по теоретической механике, а скорее монография об одном методе вывода дифференциальных уравнений движения...».

Тем не менее разработка так называемого «формализма Лагранжа — Гамильтона» была необходимым этапом познания общих закономерностей теории движения материальных систем. Предшествующий этап (XVII—XVIII вв.) более ощутимо был связан с конкретными задачами. В решении и обобщении подходов к решениям ряда важных задач вырабатывались основные модели классической механики в трудах Ньютона, Эйлера, Даламбера и семьи Бернулли.

Механика XIX в., обильно обогащенная конкретными знаниями, перешла к построению общей абстрактной теории, раскрывая внутренние закономерности большой совокупности установленных фактов, выявляя связь различных методов и подходов, различных принципов (в том числе и вариационных), стремясь соединить все это в общей теории. Аналитическая динамика стала разделом точного естествознания, в котором теоретическое мышление в познании законов природы играло самостоятельную и весьма существенную роль. Создавалось впечатление, что без вмешательства чего-либо внешнего (кроме общения ученых посредством публикаций) в «кабинетных» условиях получались новые результаты, важные для дальнейшего развития учения о природе. Однако этот этап был ограничен во времени, а автономия теоретической мысли была относительной: и то и другое было обусловлено ограниченностью исходных конкретных знаний.

Упреки в адрес теоретиков (в том, что односторонность их методов исследования несет опасность формализации науки, полного ухода от практически интересных задач) были необоснованныйуже к концу XIX в. область приложения математического аппарата аналитической динамики оказалась значительно шире круга механических явлений. Вариационные принципы механики благодаря полной независимости от какой-либо специальной системы отсчета получили применение в общей теории относительности, где основные уравнения должны быть инвариантны при произвольных преобразованиях координат.

В квантовой теории остаются верными законы сохранения энергии и импульса, первоначально возникшие в механике. В квантовой механике нашли широкое применение многие методы аналитической динамики, так что формализм Лагранжа — Гамильтона оказался жизнеспособным и вне границ классической механики.