4. Геометрическая статика Вариньона

Едва ли не самым примечательным событием истории науки XVII в. было появление в 1687 г. «Начал» И. Ньютона — первого систематического изложения учения о движении материальных тел. В том же 1687 г. в Париже вышел в свет труд П. Вариньона «Проект новой механики», дополняющий сочинение Ньютона важными обобщениями в области статики, почти не затрагиваемой в «Началах» Ньютона. Окончательная редакция трактата Вариньона появилась в 1725 г. под названием «Новая механика, или статика». Термин «динамика», предложенный Лейбницем для учения о движении, был принят не сразу. Большая часть двухтомного сочинения Вариньона посвящена систематическому изложению геометрической статики, основанной на едином принципе сложения и разложения сил. Все силы (тяга руки, давление груза на опору, натяжение веревки) Вариньон оценивает по отношению к весу тела. Силы рассматриваются как величины геометрические, «превращенные из фунтов в футы и туазы». На отрезках, изображающих силы по величине и направлению, вместо стрелки нарисована всюду рука, натягивающая отрезок нити, что является первым шагом к «векторизации» понятия силы.

И з восьми аксиом Вариньона три содержали правильные утверждения; позже эти предложения (несколько измененные редакционно) были включены в аксиоматику статики. Две из этих аксиом утверждают, что твердое тело под действием двух сил, приложенных в точке, будет пребывать в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по величине и противоположны по направлению. Вариньон делает существенное добавление, что любая из сил может быть заменена сопротивлением опоры. Третья правильная аксиома (пятая по порядку) указывает правило сложения двух коллинеарных сил, приложенных в одной точке. После изложения аксиом следует «Основной принцип»: если на тело в некоторой точке действует произвольное число сил, направленных как угодно, то тело либо не будет двигаться, либо получит перемещение, которое будет таким же, как если бы на тело подействовала одна сила, называемая результирующей всех данных сил.

Правило сложения сходящихся сил Вариньон «доказывает» в виде двух лемм. По существу здесь идет речь о сложении двух элементарных перемещений, которые получило бы тело под влиянием каждой из сил в отдельности. Для многих сходящихся сил фактически находится замыкающая сторона их силового

многоугольника. Вариньон устанавливает возможность переноса силы в твердом теле полиции ее действия.

Однако имя Вариньона известно каждому, изучающему статику, в связи с леммой XVI, называемой теперь теоремой Вариньона: если выбрать произвольную точку S и построить треугольники с вершиной в этой точке на сторонах АВ и АС параллелограмма ABCD (рис. 21) и на его диагонали AD, то сумма (если точка S лежит вне угла ВАС) или разность (если точка S лежит внутри углаВАС) площадей треугольников, построенных на сторонах, равна площади треугольника SAD.

Вариньон изящно доказывает это положение, замечая, что высоты трех треугольников, имеющих общее основание AS, связаны аналогичным соотношением. Из частных случаев самый интересный тот, когда точка S лежит на диагонали или ее продолжении, тогда площади треугольников, построенных на сторонах AB и AC с вершиной в точке S, между собой равны.

Вслед за этой важной леммой Вариньон определяет момент силы относительно точки S, как произведение силы на «плечо» (кратчайшее расстояние точки S до линии действия силы). Можно сформулировать лемму Вариньона с помощью этого понятия: момент равнодействующей двух сходящихся сил относительно некоторой точки плоскости сил равен алгебраической сумме моментов составляющих относительно той же точки.

Далее идет первая теорема трактата, называемая теперь «теоремой о трех силах», пока для частного случая.

В трактате Вариньона впервые заложены основы графостатики. Техника веревочных машин, а также действие ветровой нагрузки на парус — вот две технические предпосылки, навеявшие идею веревочного многоугольника Вариньона. Форма невесомой нерастяжимой веревки, закрепленной по краям и несущей один, два и более грузов в своих точках, напоминала форму паруса, надутого ветром (в профиле). Еще более тесной становилась аналогия, когда число грузов стремилось к бесконечности или попросту веревка становилась весомой, с равномерно распределенным по ее длине весом. Методы графической статики — оперирование двумя взаимными (веревочными и силовым) плоскими многоугольниками — были следствием размышлений ученого над задачей равновесия тяжелой цепи, закрепленной по концам.

В теоремах VIII—X и их следствиях излагается сущность главного метода графостатики. Этап за этапом от простого случая двух параллельных, направленных в одну сторону сил, до произвольной плоской системы сил, не приводящей к паре, Вариньон обосновал оперирование двумя взаимными фигурами —веревочным многоугольником, напоминающим веревку, в узлах которой приложены силы по различным направлениям, и силовым многоугольником (рис. 22). Первый многоугольник в

графостатике начала XX в. называли шарнирным многоугольником, или многоугольником Вариньона. Графостатика XIX в. исходила из методов геометрической статики Вариньона, существенно дополнив его учение.

Теорема XI и ее следствия устанавливают, что формой равновесия тяжелой однородной нити является цепная линия; здесь же изучаются свойства такой линии.

Принципиальное значение в статике Вариньона имеет раздел «Рычаги всех родов, различных форм и размеров под действием всевозможных сил и грузов». Новая абстракция силы реакции, введенная впервые Вариньоном, выступает особенно отчетливо в задаче о равновесии обобщенного рычага. Рассматривается (рис. 23) твердое тело с неподвижной горизонтальной осью В, на которое действуют произвольные силы, приводящиеся слева от вертикали, проходящей через точку В, к одной силеE, справа— к одной силе F. Напомним, что до этого Вариньон не рассматривал несходящиеся силы на плоскости. Применяя теорему о трех силах, Вариньон доказывает (теорема XXI), что для равновесия такого тела необходимо и достаточно, чтобы силы E, Fи сила «сопротивления опоры» В (la charge d'appui) могли образовать замкнутый треугольник и чтобы прямая действия силыВ проходила через точку пересечения двух активных сил Е и F.

Следствия II и III теоремы XXI очень важны для дальнейшего решительного шага — предельного перехода от двух сходящихся сил к двум параллельным. Следствие II утверждает, что две силы, приложенные к концам коромысла прямого неравноплечного рычага первого рода, т. е. с точкой опоры в промежутке между приложенными силами, при равновесии относятся между собой обратно пропорционально кратчайшим расстояниям их линий действия от точки опоры рычага (моменты этих сил относительно точки опоры равны). Отметим, что эти силы не являются параллельными. Утверждается и обратное: при равенстве моментов сил рычаг останется в равновесии.

Вариньон переходит к случаю, когда на твердое тело с точкой опоры действуют параллельные силы. Непосредственнодля схемы рис. 23 Вариньон предлагает точку схода двух сил удалять в бесконечность, делая угол между прямыми действия сил бесконечно малым, так что активные силыЕ, F станут параллельными. В этом процессе предельного перехода сохраняется равенство моментов сил относительно точки опоры, а отсюда легко вывести обратное отношение величин сил и соответствующих плеч. Кроме того, Вариньон находит, что сила реакции опоры равна сумме приложенных сил. Этого результата не было в теории равновесия рычага Архимеда — Стевина.

Множество задач, заимствованных из техники, решается в трактате Вариньона. Самым замечательным достижением Вариньона в создании системы геометрической статики является увязка двух основных принципов его учения: сложения сил и приравнивания моментов сил. Если статика Роберваля постулировала эти два положения независимо друг от друга, то у Вариньона они переплелись в его знаменитой лемме XVI, называемой теперь теоремой Вариньона. Даже после введения Пуансо теории пар, когда геометрическая статика приобрела современный вид (за исключением векторизации), многие ученые полагали теорему Вариньона в основу построения курса геометрической статики вместо теории пар. Для статики плоской системы сил этот способ вполне приемлем, он существенно сокращает объем курса статики.

В заключение добавим несколько слов об остальных разделах второго тома «Новой механики» Вариньона. В самом начале раздела девятого цитируется письмо Вариньону из Базеля от его друга Иоганна Бернулли от 26 января 1717 г., в котором он дал более общую, чем у Галилея, формулировку принципа виртуальных скоростей: «При всяком равновесии любых сил, каким бы способом они ни были приложены и в каком бы направлении они ни действовали одна на другую, посредственно или непосредственно; сумма энергий положительных будет равна сумме энергий отрицательных, взятых с положительным знаком».

Девятый и десятый разделы последовательно излагают статику простых машин (тех же, что и в геометрической статике) и гидростатику на основе принципа виртуальных скоростей. О виртуальных скоростях Вариньон говорит, что это малые перемещения точек системы, переместившейся или параллельно самой себе (имеется в виду каждый отрезок) или за счет некоторого поворота около неподвижной точки. Отождествление бесконечно малых перемещений точек с виртуальными скоростями этих точек типично для механики XVIII в.

Выявление количественного смысла характеристики энергии дается Вариньоном более четко. Он определяет энергию как произведение величины силы на перемещение точки ее приложения вдоль прямой действия силы; при этом учитывается знак энергии.