3.Создание теории всемирного тяготения

В 1661 г. в Лондоне была образована комиссия для изучения природы тяжести, в которую вошли Р. Бойль, Р. Гук и другие. В 1666 г. Гук доложил о проделанных им опытах, в которых онпытался установить убывание тяжести с возрастанием высоты над поверхностью Земли. Опыты оказались неубедительными, хотя основная идея была плодотворной. Спустя два месяца Гук выступил с новым докладом, в котором утверждал, что Солнце должно обладать некоторым притягивающим свойством по отношению к планетам. Интересна его аналогия между движениями грузика конического маятника и планеты по ее орбите. Стремление грузика и планеты продолжать начатое движение по прямой (по свойству инерции) нарушается притягивающим изгибающим началом: у грузика — натяжением нити, у планеты — притяжением Солнца. Гук утверждал, что на основе предположения о притягивающем свойстве можно было бы по двум-трем положениям планет рассчитать их орбиты и движение. Однако такая программа не была выполнимой для самого ее автора; будучи проницательным и остроумным экспериментатором, Гук не был математиком.

Через восемь лет Гук опубликовал большой мемуар «Попытка доказательства годичного движения на основе наблюдений» (1674). Здесь он подходит к истине еще ближе, резюмируя сочинение следующими тремя положениями.

1. Не только Солнце притягивает планеты, но и планеты притягивают Солнце и друг друга.

2. Приведенное в движение тело движется по прямой до тех пор, пока притягивающее изгибающее начало не отклонит его от прямолинейного движения, после чего оно будет вынуждено двигаться по окружности или эллипсу.

3. Притягивающее действие тем больше, чем ближе тело к центру притяжения. Что касается степени убывания этой силы, делает Гук в заключение важное добавление, то она не определена им на опыте. Однако как только зависимость силы от расстояния станет известной, астрономы смогут найти законы небесных движений.

Что же думал по этому поводу его младший великий современник и коллега Исаак Ньютон?

1660-е годы были в основном периодом оптических увлечений Ньютона. Однако вынужденный из-за чумы 1665 г. жить на своей ферме Вулсторп, он размышлял о природе тяготения. Неясное звено в цепи рассуждений Гука — чему пропорциональна притягивающая сила центрального тела — чрезвычайно интересовало многих, в том числе и Ньютона. И вот, в Вулсторпе Ньютон впервые провел расчет, в котором фигурировала сила тяготения, обратно пропорциональная квадрату расстояний.

У же в эту пору Ньютон вывел зависимость центростремительного ускорения точки от величины скорости и радиуса жесткой окружности, по которой равномерно движется точка. Известно, что эту зависимость ( ) Гюйгенс вывел несколько ранее, но опубликовал ее лишь в 1673 г. Таким образом, Ньютон вывел эту формулу независимо от Гюйгенса. Он рассуждал, повидимому, так (рис. 17).

Пусть точка М массы т движется равномерно по окружности со скоростью v. Что мешает точке двигаться по инерции, уйдя с круга по

прямой? Этим препятствием служит давление связи N на точку М, именно оно вызывает изменение количества движения точки , именно оно мешает «устремлению точки от центра» (conatus recedendi). За меру силы N Ньютон принимает величину этого «устремления», а именно изменения количества движения точки. В этом уже зачаток второго закона Ньютона. Так как масса точки не меняется, мы в дальнейшем для величины«устремления точки от центра» будем писать не , а . Пройдя половину окружности, точка меняет направление скорости на противоположное, поэтому величина устремления от центра за эта время равна: . Отношение величины «устремления» 2v к скорости движения v равно 2 и совпадает с отношением хорды перемещения (т. е. диаметра ММ₂) к радиусу R. Итак, Ньютон замечаетотношение:

Такая пропорция имеет силу и для четверти периода, когда хорда равна стороне вписанного квадрата. Индекс 4 означает число сторон вписанного правильного многоугольника. Запишем по Ньютону:

Для числа звеньев n соответствующая пропорции будет иметь вид:

где l_n — длина стороны правильного n-угольника. Далее Ньютон совершает предельный переход, считая, что число сторон правильного вписанного многоугольника стремится к бесконечности, сумма длин сторон стремится к длине окружности сумма приращений скорости , названная «полным устремлением от центра за один оборот», так относится к величине скорости vкак длина окружности к радиусу, т. е. это отношение равно . Далее по существу Ньютон вводит радианную меру дуги окружности и соответствующего центрального угла: он рассматривает такое перемещение точки М по окружности, при котором дуга равна радиусу R. Тогда «устремление от центра» в точности равно v (на основании выведенной выше пропорциональности). Время, затраченное на прохождение дуги равно . Тогда центростремительная сила (скорость изменения скорости в единицу времени) или ускорение равно:

Предельный переход здесь не нужен, так как скорость по величине постоянна, а искривление траектории одинаково в каждой точке, следовательно, величина ускорения (у Ньютона для этого используется термин ускоряющая, или центростремительная, сила) 'будет такая же, как и в точке М1. Ньютон вывел эту формулу в 1664—1665 гг.; ко времени опубликования трактата «Математические начала натуральной философии» (1687) он познакомился с выводом Гюйгенса той же формулы. Высоко оценив доказательство Гюйгенса, Ньютон включил в свое сочинение приведенное выше собственное доказательство, правда в чрезвычайно лаконичной форме.

На основе III закона Кеплера Ньютон смог вывести обратноквадратичную зависимость ускорения от расстояния между взаимодействующими телами. Суть его рассуждений такова. Если обозначить через а_л и а_з ускорения Луны и тела, движущегося вокруг Земли по орбите с радиусом Земли R_з, то отношение ускорений

где T_л и T_з — периоды обращения тел по своим круговым орбитам. По III закону Кеплера можно заменить отношение квадратов периодов через кубы соответствующих радиусов R_л и

R_з

Таким образом Ньютон получил ядро будущего закона тяготения.

Приведем рассуждения Ньютона, которые он провел в трактате через двадцать лет после приведенного вывода. Речь идет о том искусственном спутнике, который мысленно «запустил» Ньютон на околоземную орбиту; его центростремительное ускорение было обозначено буквой а3): «Если бы около Земли вращалось бы несколько лун, подобно тому как около Юпитера и Сатурна, то времена их обращений (на основании наведения) следовали бы планетным законам, открытым Кеплером, и поэтому их центростремительные силы были бы по предложению I обратно пропорциональны квадратам расстояний. Если бы наинизшая из этих лун была малой и почти что касалась вершин высочайших гор, то центростремительная сила, которой бы она удерживалась на своей орбите (согласно предыдущему расчету), равнялась бы приблизительно силе тяжести на вершине этих гор; если бы этот спутничек лишить его поступательного движения по орбите, то вследствие отсутствия центробежной силы, от которой он продолжает оставаться на своей орбите, он под действием предыдущей стал бы падать на Землю и притом с такой же скоростью, с какой на вершинах этих гор падают тяжелые тела, ибо в обоих случаях действующие силы равны... Следовательно, та сила, которою Луна удерживается на своей орбите, есть та же самая, которую мы называем силой тяжести, ибо в противном случае или оказанный спутничек на вершинах гор не имел бы тяжести, или падал бы...»

Для проверки истинности полученного результата Ньютон сопоставил найденную величину а3с величиной ускорения свободного падения на Земле. Зная, что расстояние до Луны примерно в 60 раз больше радиуса Земли, Ньютон находит величину а3. Не имея под руками в Вулсторпе иных данных для нахождения радиуса Земли, кроме тех, что приведены в «Диалогах» Галилея, Ньютон воспользовался значением R₃, равным 3500 итальянских миль, что привело к величине а3, заниженной по сравнению с данными конца XVII в. примерно на 16%.

Вероятно, такое существенное расхождение в величинах охладило отношение Ньютона к «философским проблемам», как тогда называли проблемы строения мира. Так или иначе, но ничего из приведенных вычислений Ньютон не публиковал на протяжении двадцати лет. По возвращении в Кембридж в 1667 г. он снова углубился в занятия оптикой, химией, а этому эпизоду, именуемому историками «размышлениями под яблоней», суждено было всплыть позже при тяжбе с Гуком из-за приоритета в вопросе гипотезы обратных квадратов.

Мемуар Гука о годичном движении Земли с изложенными выше тремя гипотезами был опубликован после возвращения Ньютона из Вулсторпа и, следовательно, уже после его «размышлений под яблоней». У Ньютона было что сказать на поставленные Гуком вопросы, но он молчал.

В 1679 г., став секретарем Королевского общества, Гук обратился к Ньютону в Кембридж с письмом, где прямо спрашивал мнение Ньютона о своих гипотезах. Ньютон уклонился от дискуссии, сказав, что в последние годы он был далек от «философии» и ничего не слышал о гипотезах Гука относительно небесных движений. Однако в конце письма к Гуку Ньютон привел свои доводы, доказывающие вращение Земли на основе факта отклонений падающего с высоты тела от вертикали к востоку. Ньютон дорисовал воображаемый путь такого тела внутри Земли, если бы она была полой — криволинейная дуга замыкалась в центре Земли.

Гук очень быстро откликнулся, указывая, что, по его мнению, эта кривая должна быть

« эллиптоидом». С. И. Вавилов в книге «Исаак Ньютон» назвал эту кривую «секретом Гука». Эскизы этой кривой найдены в записках Королевского общества (рис. 18) . Эксцентрический эллипсоид Гука представляет собой некую спираль вокруг центра Земли, а при отсутствии сопротивления получается эллипс.

Ньютону пришлось принять участие в дискуссии. Он вынужден был признать, что Гук ближе к истине в вопросе о внутренней части траектории. При этом Ньютон объяснил, что он имел в виду случай постоянной силы тяжести внутри Земли. На это Гук возразил, что он, в свою очередь, имел в виду закон обратных квадратов вплоть до центра

Земли; что касается отклонения падающих тел, то в северном полушарии это отклонение от вертикали происходит не строго на восток, а на юго-восток.

Так впервые явно была высказана гипотеза обратных квадратов. Интуицию Гука очень высоко оценил С. И. Вавилов: «Если связать в одно все предположения и мысли Гука о движении планет и тяготении, высказанные им в течение почти 20 лет, то мы встретим почти все главные выводы «Начал» Ньютона, только высказанные в неуверенной и мало доказательной форме. Не решая задачи, Гук нашел ее ответ. Вместе с тем перед нами вовсе не случайно брошенная мысль, но несомненно плод долголетней работы. У Гука была гениальная догадка физика-экспериментатора, прозревающего в лабиринте фактов истинные соотношения и законы природы».

Необходимость решения задач небесной механики становилась очевиднее с каждым годом, но Ньютон по-прежнему оставался в стороне от «философии». Он занимался лекциями, химией, Вулсторпской фермой...

Гипотеза обратных квадратов витала в воздухе, она привлекла все большее внимание членов Лондонского Королевского общества. В 1684 г. трое из них—Галлей, Рен и Гук, сидя в кофейне, завели разговор о великой проблеме планетных движений. Все трое -сходились на том, что движение планет слагается из двух движений: прямолинейного равномерного движения и как бы падения на Солнце. Галлей заявил, что он вывел обратноквадратичиую зависимость тяготения от расстояния из III закона Кеплера для кругового движения. Рен предложил в качестве приза книгу стоимостью в 40 шиллингов тому, кто выведет форму эллиптической орбиты при действии на тело упомянутой силы тяготения. Он не рисковал ввести себя в расход: проблема была не под силу его собеседникам. Как пишет С. И. Вавилов, «оставалось одно — обратиться к всеведущему Ньютону».

В мае 1684 г. Галлей поехал в Кембридж и поставил перед Ньютоном этот вопрос. Так Ньютон был вовлечен в серьезную работу над проблемой тяготения. Ньютон не только разработал метод расчета эллиптической орбиты на базе гипотезы обратных квадратов. Он делал все фундаментально: построил основы динамики, ее аксиомы (законы), определения, понятия, создал математический аппарат «первых и последних отношений» — по сути, элементы дифференциального и интегрального исчислений. Так возникла книга «De motn» (О движении) — ядро будущего трактата «Математические начала натуральной философии». К ноябрю Ньютон вручил Галлею рукопись и по его же настоянию стал готовить более развернутое изложение работы. В начале 1685 г. трактат «О движении» был представлен Королевскому обществу. Но публиковать его Ньютон все еще не разрешал, трактат был только занесен в регистр Общества. Интерес и энергия Ньютона теперь не ослабевали. По свидетельству его секретаря Гемфри, Ньютон забывал о сне и еде. Трудоспособность его была поразительной. Работа быстро продвигалась и к 1687 г. была закончена. Трактат «Начала» состоял из трех больших книг. Две первые назывались «О движении тел», третья «О системе мира». В ней излагался закон всемирного тяготения, фактически выведенный из законов Кеплера.

Энергичный Э. Галлей взял на себя хлопоты и денежные издержки, связанные с публикацией «Начал». Однако на пути к завершению издания ему пришлось выдержать тяжбу из-за приоритета в вопросе о соотношении обратных квадратов.

На одном из заседаний Общества ученые высказывали заслуженные похвалы Ньютону. Гук был уязвлен (и не без основания) тем, что его работы и достижения в этом вопросе были забыты.

Вечером в кофейне, где собрались некоторые из коллег, он высказал свои притязания. Кто-то указал ему в ответ, что лишь его вина в том, что разработку гипотезы выполнил не он сам. До Ньютона дошли сведения об этом заочном обсуждении его труда. В гневном письме Галлею Ньютон грозит исключить III книгу из издания, оставив трактат без венца. Здесь-то

Ньютон и сообщает, что закон квадратичного убывания тяжести известен ему лет двадцать (имелись в виду «размышления под яблоней» во время чумы). После дипломатического письма Галлея Ньютон тем не менее согласился упомянуть имя Гука, что и сделано в Поучении II отдела первой книги.

В дополнение к этому известному эпизоду хотелось бы привести высказывание американского физика Р. С. Вестфал: «Порой кажется, что деятельное великолепие Гука было создано для того, чтобы высекать искры из флегматичной гениальности Ньютона».

Изложенному эпизоду часто дают характеристику как драматическому событию в том смысле, что судьба теории тяготения находилась в зависимости от человеческих отношений. Вестфал заканчивает цитированную фразу: «Кроме самих Ньютона и Гука, полемика не требовала никакого постороннего агента».

И этот вывод, и драматизация отношений Ньютона и Гука — некоторое преувеличение.

Несомненно, взаимодействие творчества таких натур, как Ньютон и Гук, Максвелл и Фарадей, играло немалую роль в ускорении развития науки. Играют роль и другие факторы. В книге Л. де Бройля «По тропам науки» ставится риторический вопрос: если бы Ньютон жил в наше беспокойное время, открыл ли бы он закон всемирного тяготения?

Думается, что не пришлось бы открывать этот закон в XX в., ибо в таком законе была насущная потребность в XVII—XVIII вв., а поэтому столь же блистательно или с большими трудностями, чем Ньютон, ученые той эпохи пришли бы к открытию закона всемирного тяготения. Об эпохе XVII в. — вершине научной революции— можно сказать словами Ф.

Энгельса1: это была эпоха, нуждавшаяся в титанах и породившая титанов по силе мысли» характера, по страсти и учености.