1.3. Статически определимые и неопределимые системы
Инженерные конструкции, как правило, представляют собой неизменяемые системы, неподвижно присоединенные к основанию.
В расчётных схемах конструкций инженерных сооружений отдельные элементы соединяются между собой связями, связи соединяют и конструкцию с основанием. Связи, соединяющие отдельные элементы конструкции, называют внутренними, соединяющие конструкцию с опорами или с основанием – внешними [3].
В зависимости от протяженности связи могут быть дискретные и распределённые (континуальные).
Соединение элементов конструкций в узлах считают жестким, упругим или шарнирным в зависимости от вращательной жесткости узла. Соединения можно классифицировать на основе экспериментальных данных, опыта предыдущей эксплуатации или по результатам расчета на основе результатов испытаний.
Шарнирные соединения должны передавать внутренние усилия без появления значительных моментов, неблагоприятно действующих на отдельные элементы или на конструкцию в целом. Они допускают незначительные перемещения стыкуемых элементов относительно друг друга. Жесткие соединения, в отличие от шарнирных, не должны допускать относительных перемещений элементов в узлах. Обычно они выполняются с помощью неодинарных сварных швов, жестких болтовых соединений или путем сварки выпусков арматуры стыкуемых элементов с последующими замоноличиванием бетоном. Соединения, не удовлетворяющие критериям для жестких или шарнирных узлов, следует классифицировать как полужесткие или упругие.
В зависимости от типа соединения элементов различают системы с жестким соединением элементов (например, рамы), системы с шарнирным соединением элементов (например, фермы) и комбинированные системы (шпренгельные балки и пр.).
Опоры конструкции классифицируются по числу связей, накладываемых на перемещения опорных узлов. Под нагрузкой на конструкцию со стороны опор начинают действовать опорные реакции. Число опорных реакций зависит от вида опоры.
В расчетных схемах плоских систем различают четыре основных вида опор:
- шарнирная подвижная опора – опорная реакция имеет одну вертикальную составляющую R;
- шарнирная неподвижная опора – опорная реакция имеет две составляющие: вертикальную R и горизонтальную H;
- скользящая заделка – опорные реакции R и M (изгибающий момент);
- жесткая заделка – опорные реакции R, H и M.
При статическом расчете конструкций опорные реакции являются неизвестными величинами. Для их определения составляют уравнения равновесия, то есть условия равновесия, содержащие опорные реакции.
Для любой плоской системы можно записать три уравнения равновесия:
ΣXi = 0;
ΣYi = 0;
ΣMi = 0.
Из решения трех уравнений можно найти три неизвестных составляющих опорных реакций. При большем числе неизвестных система называется статически неопределимой.
Таким образом, система называется статически определимой, если число неизвестных опорных реакций равно числу возможных уравнений равновесия. Если же число неизвестных больше числа возможных уравнений равновесия, система статически неопределима.
Статическая неопределимость системы объясняется наличием «лишних» связей Л, т.е. связей, которые можно удалить без нарушения геометрической неизменяемости системы. Если Л = 0, система статически определима; если Л < 0 - статически неопределима.
Количество «лишних» связей Л противоположно числу степеней свободы системы n и может быть определено по формуле:
Л = - n;
Л = Со + 2Ш – 3Д,
где Со – число опорных стержней, или число составляющих опорных реакций; Ш – число простых шарниров в составе конструкции; Д – число дисков, т.е. жестких частей в составе конструкции.
Этой же формулой можно пользоваться и для определения степени статической неопределимости системы.
Степенью статической неопределимости называется разность между числом неизвестных усилий (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений равновесия, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы. Статическая неопределимость может быть вызвана как внешними, так и внутренними связями.
Сооружения, представляющие собой статически неопределимые системы, иногда более экономичны по расходу материалов, как, например, неразрезные балки. Однако недостатком статически неопределимых систем является их чувствительность к осадкам опор, к температурным воздействиям и к неточности изготовления отдельных элементов системы. Изменение формы статически неопределимой системы обычно сопровождается деформациями ее элементов и возникновением в них дополнительных усилий.
П р и м е р 1. Определить степень статической неопределимости многопролетной балки ABCD, изображенной на рисунке 1.
Рисунок 1. Схема балки.
Решение.
Для балки АBCD число дисков Д = 3, число шарниров Ш = 2, число опорных стержней Со = 6. Число «лишних» связей:
Л = Со + 2Ш – 3Д = 6 + 2·2 - 3·3 = 1,
следовательно, балка один раз статически неопределима.