4.5. Определение расчетных усилий

Усилия, возникающие в поперечном сечении элемента под действием внешних сил, в общем случае приводятся к изгибающему моменту М, поперечной силе Q и продольной силе N.

Определение усилий подробно изучается в курсе сопротивления материалов [1], [13]. Для статически определимых конструкций расчетные усилия определяются на основании решения уравнений равновесия. Для определения расчетных усилий в элементах статически неопределимых систем пользуются методом перемещений, методом сил или вычисляют усилия с помощью прикладных компьютерных программ (прил. 9).

Так, основными усилиями в поперечном сечении балки являются изгибающий момент M и поперечная сила Q, для центрально сжатой стойки – продольная сила N, для внецентренно-сжатой стойки – продольная сила N и изгибающий момент M, и т.д.

Для расчета конструкций по предельным состояниям определяются расчетные усилия, т.е. максимальные значения усилий, действующие в самых «опасных» сечениях конструкции.

Значения опорных реакций и максимальных изгибающих моментов для некоторых расчетных схем статически определимых балок приведены в приложении 5.

4.6. Конструктивные расчеты

Конструктивный расчет, как правило, сводится к подбору размеров поперечного сечения элемента для обеспечения требуемых условий прочности, устойчивости или деформативности. Способы расчета разных видов конструкций по предельным состояниям первой и второй групп изучаются в курсах «Металлические конструкции», «Железобетонные и каменные конструкции», «Конструкции из дерева и пластмасс». Основные расчетные формулы приводятся в соответствующих нормах проектирования [14], [15].

Стальные элементы сплошного сечения при центральном растяжении или центральном сжатии рассчитывают на прочность по формуле:

N / A_n·R_y·γ_c ≤ 1, (16)

где N – расчетная продольная сила, Н; A_n – площадь сечения элемента «нетто», м²; R_y – расчетное сопротивление металла по пределу текучести, Па; - коэффициент условий работы конструкции.

Сжатые элементы стальных конструкций при отношении высоты сечения к расчетной длине h/l ≥ 4 рассчитывают на устойчивость:

N / φ·A_n·R_y·γ_c ≤ 1, (17)

где φ – коэффициент устойчивости, определяемый по СП 16.13330.2011 [10] или по прил. 8 в зависимости от гибкости элемента λ_max =μl/i_min , где i_min - минимальный радиус инерции сечения. Предельная допустимая гибкость для стальных колонн λ_max ≤ 120.

Расчет стальных балок сплошного сечения при действии момента в одной из главных плоскостей ведут по условию прочности:

M / W_n,min·R_y·γ_c ≤ 1, (18)

где W – момент сопротивления сечения балки, м³.

Зная максимальный изгибающий момент и расчетное сопротивление металла, можно определить момент сопротивления поперечного сечения балки, достаточный для обеспечения прочности:

.

Если поперечное сечение элемента имеет форму прямоугольника, то связь момента сопротивления с шириной b и высотой h сечения определяется формулой:

W = bh²/6.

Для элементов круглого сечения:

W = πr³/4,

где r – радиус круга, м.

Для прокатных стальных балок таврового, двутаврового и т.п. профилей связь геометрических размеров сечения с моментом сопротивления приводится в таблицах ГОСТ. Подбор размеров поперечного сечения при этом сводится к определению номера прокатного профиля по ГОСТ.

При действии в сечении балки поперечной силы Q расчет на прочность ведут по касательным напряжениям:

Q·S / I·t_w·R_y·γ_c ≤ 1, (19)

где S – статический момент сечения балки, I – момент инерции сечения, t_w – толщина стенки балки, м.

Этим выражением обычно пользуются для подбора сечения составных балок или для проверки толщины стенки балки при работе на срез.

П р и м е р 15. Подобрать номер прокатного двутавра для стальной балки перекрытия в условиях плоского изгиба. Максимальный (расчетный) изгибающий момент M_max 24,0 кНм. Расчетное сопротивление металла по пределу текучести R_y = 230 МПа. Коэффициент условий работы γ_с = 0,9. Балка двумя концами опирается на кирпичные стены на глубину 20 см.

Решение.

1. Выбираем расчетную схему: балка однопролетная. При заделке концов стальной балки в кирпичную кладку балка считается шарнирно опертой.

2. Из условия прочности (18) определяем требуемый момент сопротивления сечения при изгибе:

W_тр  ≥   1,04∙10^4 м³  104 см³.

3. По таблице стандартных прокатных профилей (прил. 6) выбирается двутавровый профиль № 16, у которого W_х  109 см³ > 104 см³.

П р и м е р 16. Проверить несущую способность центрально сжатой стальной колонны из прокатного двутавра 26Б1 для рабочей площадки. Геометрическая длина колонны l_геом = 3 м. Расчетная продольная сила N = 311 кН, материал конструкции – сталь класса С235 (R_y = 230 МПа), коэффициент условий работы γ_с = 0,95. Между колоннами вдоль и поперек рабочей площадки имеются вертикальные связи. База колонны соединена с фундаментом двумя анкерными болтами.

Решение.

1. Выбираем расчетную схему. Так как между колоннами имеются связи в обоих направлениях, считаем верхнюю опору колонны шарнирной. При креплении базы к фундаменту двумя болтами нижняя опора колонны также считается шарнирной.

2. Расчетная длина колонны равна геометрической длине (рис. 8, а) l = l_геом = 3 м.

3. По сортаменту определяем минимальный радиус инерции для двутавра 26Б1: i_min = i_y = 2,64 см. Определяем фактическую гибкость колонны:

λ = l/i = 300/2,64 = 114 < λ_max = 120.

4. По прил. 8 определяем коэффициент устойчивости: φ = 0,47.

5. Проверяем условие устойчивости (17):

N / φ·A_n·R_y·γ_c ≤ 1,

311 / 0,47·35,3·10^-4·230000·0,95 = 0,858 < 1,

следовательно, несущая способность колонны достаточна.

П р и м е р 17. Проверить прочность при растяжении стенок стального газопровода круглого сечения. Внутреннее давление Р = 7 МПа. Марка стали С345 (расчетное сопротивление по пределу текучести R_y = 310 МПа). Внутренний диаметр трубопровода D_i = 510 мм, толщина стенки t = 10 мм. Категория трубопровода II, коэффициент надежности по назначению γ_n = 1,25, коэффициент условий работы материала труб γ_с = 0,75.

Решение.

1. Расчетная схема стенки - листовая конструкция, работающая на центральное растяжение под действием равномерно распределенной нагрузки от внутреннего давления.

2. Расчетное напряжение σ от внутреннего давления для труб при расчетной температуре ниже 200˚С (см. «Пособие по расчету на прочность технологических стальных трубопроводов на Р_у до 10 МПа») равно:

.

3. Проверяем условие прочности при растяжении:

σ·γ_n ≤ R_y·γ_с ;

178,5·1,25 МПа ≤ 310·0,75 МПа ;

223,1 МПа < 232,5 МПа, условие прочности выполняется.