3.2. Детерминированная модель управления запасом.
Рассматривается процесс управления однопродуктовым запасом на изолированном складе, процесс движения запасов — бесконечный, процесс пополнения мгновенный. Пусть спрос имеет постоянную интенсивность μ, то есть Н = μТ. Дефицит не допускается, то есть расходы на штрафы LD= 0. Каждой поставке отвечают постоянные расходы g, то есть расходы на поставку Lр.= g. Стоимость хранения Lz пропорциональна среднему уровню запаса и времени его существования, коэффициент пропорциональности равняется s. Применяется стратегия управления запасами (Т, Н).
Необходимо найти оптимальные параметры стратегии управления запасами Т* и Н*, которые минимизируют общие расходы за единицу времени.
Экономико-математическая модель.
Схема движения запаса материала на складе изображена на рисунке ниже.
Движение запаса циклическое, поэтому для создания экономико-математической модели достаточно рассмотреть один цикл (треугольник на схеме).
Общие расходы за период Т: LТ = LР + LZ + LD.
Расходы
на хранение:
.
Тогда,
.
Целевая функция — расходы за единицу времени:
,
,
,
.
Для нахождения T* нужно взять частную производную целевой функции L по оптимизационному параметру T:
,
,
Отсюда,
,
,
.
Поскольку в данных условиях партия поставки q равна предельному запасу H = Т*, то
,
.
Эта формула называется формулой оптимального заказа.
3.3. Концептуальная модель оптимизации запасов.
Концептуальная модель оптимизации запасов:
1. Моделируется однопродуктовая система управления запасами. Количество продукта, которое вывозится ежедневно со склада, определяется текущим спросом. Используется стратегия фиксированного размера заказа (h, q): когда уровень текущего запаса y падает ниже заданной отметки h, руководство склада заказывает поставку товара в количестве q. По окончанию срока выполнения заказа эта продукция поступает на склад и пополняет запас. Система снабжения функционирует T дней.
2. Ежедневно возникает спрос на предмет хранения, причем равняется этот спрос величине X — случайной величине с известным законом распределения вероятностей.
3. Устанавливается такой порядок выполнения операций на складе в течении каждого дня:
1) определяются объемы заказов на пополнение запаса, которые будут реализованы на протяжении текущего дня;
2) товар поставляется потребителю, то есть удовлетворяется спрос;
3) оценивается запас, который остался, и при необходимости (если текущий запас достигает порогового уровня) оформляется заказ на пополнение запаса.
4. Задержка поставки λ (количество дней между моментами времени подачи заказа на поставку и ее прибытием) трактуется как случайная величина с известным законом распределения вероятностей.
5. Неудовлетворенные заказы потребителей товара аннулируются, то есть дефицит на следующий день не переносится.
6. Заявка на пополнение запаса принимается к выполнению лишь в том случае, когда поданная ранее заявка реализована, то есть в каждый момент времени на стадии реализации не может находиться более чем одна заявка.
7. В качестве целевой функции для выбора оптимальных значений переменных управления берут суммарные расходы (стоимость хранения и поставки, штраф) за период Т.
L(q,h) = LР + LZ + LD → min.
Поскольку ежедневный спрос и задержка поставок — случайные величины, то и сумма расходов системы снабжения L(q,h) также является случайной величиной, закон распределения вероятностей которой в общем случае неизвестен. Поэтому целевая функция представляет собой математическое ожидание расходов М[L(q,h)].
8. Математическое ожидание расходов при фиксированных значениях переменных управления q, h оценивается с помощью выборочного среднего
где N — число циклов прогонок имитационной модели при фиксированных значениях переменных управления q, h и неизменных факторах модели (в случае машинной реализации имитационной модели берут 1000 циклов прогонок); Lj(q,h) — значения суммарных расходов в j-ой прогонке.
9. Стоимость поставки не зависит от объема поставки
LР = g = const.
10. Стоимость хранения пропорциональна величине остатка продукта на конец дня, коэффициент пропорциональности равняется s.
11. Расходы на штрафы пропорциональны остаточной величине дефицита на конец дня, коэффициент пропорциональности равняется р.
12. Выходной показатель работы (отклик) - переменная системы L.
13. Переменные, которые определяют состояние системы в произвольный момент времени:
LZ — расходы на хранение;
LР — стоимость поставки;
Ld — расходы на штрафы;
t — текущее (системное, модельное) время;
t — момент времени (день), когда реализуется поставка;
y — текущее значение запаса (в случае дефицита — отрицательное);
j — индекс циклов работы имитационной модели.
14. Переменные управления:
q — объем (партия) заказанной поставки;
h — нижний (пороговый) уровень запаса.
15. Неуправляемые параметры:
s — расходы на хранение единицы продукции на конец дня;
р — расходы из-за дефицита, связанные с недостатком единицы продукции;
g — расходы на организацию одной поставки;
z — начальный уровень запаса;
Т — длительность (количество дней) функционирования системы снабжения.
16. Входные переменные:
X — ежедневный спрос на продукт;
λ — время задержки поставки.
17. Характеристики функционирования системы:
F(X) — функция распределения вероятности спроса;
F(λ) — функция распределения вероятности задержки поставки.
18. С помощью метода имитационного моделирования нужно найти оптимальные значения h* и q*, при которых суммарные расходы на организацию снабжения на протяжении Т дней будут минимальными.