Тема 7. Общая и статистическая проверка результатов имитационных экспериментов

7.1. Проверка однородности дисперсий.

7.2 Проверка адекватности модели.

7.3. Вопросы для самоконтроля по теме № 7.

7.1. Проверка однородности дисперсий.

Согласно требованиям регрессионного анализа корректная обработка и использование результатов экспериментальных исследований возможны лишь в том случае, когда дисперсии измерения функции отклика в каждой точке эксперимента одинаковы – такое свойство называется однородностью дисперсий. Прежде чем находить по результатам исследований математическое описание функции отклика в заданных границах изменения факторов, необходимо убедиться в однородности дисперсий значений величины y , которые определяются по формуле

.

где

k – число повторений эксперимента в каждой точке плана (это число дальше берут одно и то же для всех попыток)

Поскольку теоретические значения дисперсий неизвестны, то наличие однородности дисперсий определяется по их статистическим оценкам.

Статистические оценки дисперсий σ²{y_j} для каждой j-ой попытки вычисляются по формуле

Очевидно, что в результате действия случайных факторов при вычислениях значений функции отклика в каждой попытке не приходится надеяться на равенство оценок дисперсий . Поэтому проверка на однородность заключается в проверке гипотезы относительно принадлежности N выборочных дисперсий (j = 1,2, ..., N) к одной генеральной совокупности. Поскольку N > 2, то для проверки этой гипотезы используется критерий Кохрена (при N=2 применяются критерии Фишера или Романовского).

Гипотезу про однородность выборочных дисперсий по критерию Кохрена проводят по такой схеме:

1. Среди вычисленных оценок дисперсий находят наибольшую .

2. Вычисляют отношение наибольшей оценки к сумме оценок всех дисперсий

3. Определяют число степеней свободы f₁ и f₂:

f₁ = k - 1,

f₂ = N,

3. Выбирают уровень значимости q (в основном q = 0,05).

4. По данным q, f₁ и f₂ в специальной таблице находят величину критического отношения G_кp.

6. Сравнивают величины G и G_кp. При этом возможны два случая:

1. G ≤ G_кp, тогда гипотеза об однородности дисперсий принимается;

2. G > G_кp, гипотеза отбрасывается.

Приняв гипотезу про однородности дисперсий, можно найти более точную оценку дисперсии функции отклика:

Если проверка однородности дисперсии дает негативный результат (гипотеза об однородности дисперсии отбрасывается), то полученный эмпирический материал не рекомендуется использовать для аппроксимации функции отклика полиномами. Следует повторить эксперименты, увеличивая при этом число параллельных попыток.

7.2. Проверка адекватности модели.

Гипотеза адекватности модели проверяется оцениванием отклонений предусмотренных значений функции отклика от экспериментально найденных, усредненных по числу повторений в экспериментальных точках факторного пространства. Для оценивания отклонений используется критерий Фишера.

Самые надежные результаты проверки гипотезы об адекватности математической модели наблюдаемым данным получают в рототабельних планах, которые обеспечивают одинаковую точность предусмотренных значений функции отклика в точках, которые содержатся на одинаковом расстоянии от центра плана. Проверку адекватности для этого случая выполняют в несколько этапов:

1. Вычисляют статистическую оценку дисперсии адекватности :

где

g – число членов аппроксимирующего полинома;

– значение функции отклика, вычисленное с помощью аппроксимирующего полинома в j-ой точке плана;

– экспериментальное значение функции отклика в j-ой точке плана.

2. Находят значение F критерия Фишера

3. Определяют число степеней свободы f₄ и f₅:

3. Выбирают уровень значимости q (как правило, q =0,05).

4. В специальной таблице по заданным q, f₄ и f₅ находят критическое значение параметра F_кp.

5. Если вычисленное значение параметра F не превышает табличного F_кp, то есть F ≤ F_кp, то математическое описание функции отклика уравнением регрессии считается адекватным. В противном случае гипотеза об адекватности отбрасывается, и модель считается не адекватной процессу, который изучается.

Заметим, что проверка гипотезы об адекватности возможна при f₄ > 0, то есть когда число опытных точек факторного пространства больше числа членов аппроксимирующего полинома. Это необходимо учитывать как при определении структуры аппроксимирующего полинома, так и при выборе соответствующего типа факторных планов.

Если гипотеза об адекватности математического описания исследуемого процесса отклоняется, то необходимо либо перейти к более сложной форме уравнения регрессии, либо уменьшить интервалы варьирования факторов в эксперименте. Например, если не адекватная линейная модель, то линейный полином необходимо дополнить, включая в него члены, которые отвечают эффектам взаимодействия. Однако при этом нужно будет реализовать несколько попыток внутри области планирования для проверки гипотезы об адекватности.

Уменьшение интервалов варьирования, с целью достижения адекватности математической модели, приводит к уменьшению коэффициентов регрессии, а из-за этого возрастает риск принять ошибочную гипотезу о статистической незначимости некоторых коэффициентов. В общем случае интервал варьирования выбирается из условия обеспечения адекватности математического описания исследуемого процесса. Часто при выборе необходимых интервалов варьирования проводятся предыдущие экспресс-попытки, в которых шаг варьирования составляет 0,05–0,3 диапазона изменения значений уровней факторного пространства.