6.2. Основные понятия и определение.

При выполнении экспериментальных исследований природа исследуемого процесса большей частью известна мало (в противном случае можно составить и исследовать математическую модель объекта, избегнув опытов, которые связаны со значительными затратами). Поэтому схема эксперимента напоминает схему кибернетического «черного ящика», свойства которого устанавливаются анализом зависимости измеренных эндогенных величин при определенных комбинациях уровней контролируемых входных величин.

Пусть y - эндогенная величина, а Х₁, Х₂, ..., Х_n - контролируемые во время исследование (опытов) факторы. Тогда процесс, который изучается, может быть описан с помощью математической модели

у = f (Х₁, Х₂, ..., Х_n)

Функцию f (Х₁, Х₂, ..., Х_n) называют функцией (реакцией, поверхностью) отклика, а величины Х₁, Х₂, ..., Х_n – факторами.

Рассмотрим определения основных категорий планирования экспериментов.

Отклик – эндогенная (обусловленная внутренними причинами) случайная величина, которая по предположению, зависит от факторов.

Факторы Х₁, Х₂, ..., Х_n – переменные величины, которые по предположению, влияют на результаты экспериментов.

Функция отклика – математическая модель у = f (Х₁, Х₂, ..., Х_n), которая представляет собой зависимость математического ожидания от факторов.

Поверхность отклика для функции одной переменной вырождается в линию. Для двух факторов поверхность отклика представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Эту поверхность для наглядности можно подать графически на плоском рисунке с помощью линий одинакового уровня (так, как это делается при создании топографических карт). Полученное изображение целевой функции является удобным для иллюстрирования особенностей поверхности отклика во время поиска экстремума.

6.3. Управляемые и неуправляемые факторы.

Факторы могут быть либо количественными, либо качественными. Количественные факторы, как правило, предполагают численные значения, тогда как качественные факторы обычно являют собой структурные допущения, которые не измеряются количественно. Следует заметить, что у некоторых факторов различие может быть не ясно.

При проведении имитационных экспериментов различают управляемые и неуправляемые факторы в зависимости от того, может ли руководство соответствующих реальных систем управлять ими.

В некоторых примерах из таблицы расположенной ниже возможность управления факторами зависит от ситуации; скажем, изменить резервный запас на фабрике можно при одних обстоятельствах и нельзя при других.

Таблица.

Примеры факторов и откликов

Возможные факторы	Количест-венные?	Качест-венные?	Управ-ляемые?	Неуправл-яемые?	Возможные
Контрольно-кассовый пункт в супермаркете
Среднее время между прибытиями покупателей	Да			Да	Задержка в очереди
Среднее время обслуживания	Да		Да		Время пребывания в системе
Число проходов	Да		Да?	Да?	Длина очереди
Наличие скоростных проходов		Да	Да		Коэффициент занятости контролеров
Стратегия добавления или снятия контролеров	Да?	Да?	Да		Частота добавления или снятия
Производственная система
Число станков	Да		Да?	Да?	Производительность, в деталях
Дисциплина обслуживания очереди		Да	Да?	Да?	Время пребывания детали в системе
Резервный запас	Да		Да?	Да?	Коэффициент использования станков
Скорости конвейеров	Да		Да?	Да?	Доходность
Объединение станков по участкам		Да	Да?	Да?

(продолжение таблицы)

Возможные факторы	Количест-венные?	Качест-венные?	Управ-ляемые?	Неуправл-яемые?	Возможные
Сеть
Интенсивность поступления сообщений	Да			Да	Задержка сообщения
Длительность сообщений	Да			Да	Пропускная способность
Число узлов	Да		Да?	Да?	Коэффициент использования узлов и линий
Число линий	Да		Да?	Да?	Длина очередей
Используемый протокол		Да	Да
Режим эксплуатации		Да	Да
Система управления запасами
Среднее время между возникновением спроса	Да			Да	Затраты на хранение
Количество запрашиваемого товара	Да			Да	Издержки, связанные с нехваткой товара
Время получения заказа	Да		Да?	Да?	Коэффициент использования станков
Количество товара, на которое подается заказ	Да		Да
Поставки, выполнение которых было отложено, в сравнении с утраченными объемами продаж	Да	Да	Да?	Да?	Поставки, выполнение которых было отложено, или утраченные поставки

Рассматриваются преимущественно управляемые факторы имитационных экспериментов, так как они имеют наибольшее влияние на решения, которые могут быть приняты относительно реализации реальных систем. Неуправляемые факторы тоже представляют интерес при проведении имитационных экспериментов, поскольку возникает необходимость оценить, каким образом резкое увеличение интенсивности прибытия клиентов повлияет на загруженность системы. В имитационном моделировании, доступно управление всеми факторами, независимо от их практической управляемости.

Выдвигается ряд требований не только к отдельным факторам, а и ко всей совокупности факторов в целом. Прежде всего, факторы должны быть независимыми, то есть установление некоторого уровня одного фактора не должно зависеть от взятых значений других факторов. При проведении физических экспериментов важным является свойство совместимости факторов (любая комбинация их уровней может быть осуществима и безопасна).

При планировании важно выбрать наиболее удачную функцию отклика у = f (Х₁, Х₂, ..., Х_n) - математическую модель процесса, который изучается. Поскольку истинное описание этой функции установить невозможно, то ее подают приближенно с помощью аппроксимирующего полинома – отрезка ряда Тейлора, в который раскладывается неизвестная зависимость в окрестности точки с нулевыми координатами:

где

Аппроксимирующий полином берут первого, второго и, реже, третьего порядка, причем степень может изменяться в зависимости от этапа эксперимента или специфики решаемой задачи. Коэффициенты полинома β из-за отсутствия истинного описания функции не могут быть найдены теоретически. Их определяют экспериментально, проводя опыты при некоторых фиксированных значениях факторов, причем, учитывая случайность исследуемого процесса или в результате ошибок при измерениях исходной величины, попытки дублируются.

После обработки результатов эксперимента исходный аппроксимирующий полином фактически заменяется уравнением регрессии:

где коэффициенты b₀, b_i, b_ij, b_ii - статистические оценки неизвестных теоретических коэффициентов β₀, β _i, β_ij, β_ii.

После выбора вида функции отклика необходимо установить границы областей определения факторов, их основные уровни и интервалы изменения. При выполнении экспериментов для каждого фактора выбирают два уровня, на которых можно изменять его значения. Выбор основных уровней (начальной точки факторного пространства) и интервалов изменения основывается на предшествующих знаниях относительно исследуемого процесса. Делают этот выбор, исходя из необходимости уменьшения числа попыток для решения поставленной задачи.

Итак, для любого i-го фактора определяются:

– основной уровень i-го фактора;

– верхний уровень і-го фактора;

– нижний уровень і-го фактора;

– интервал изменения.

Во время проведения экспериментов используются кодированные значения уровней факторов. При этом основной уровень берут равным нулю, верхний +1, нижний -1. Кодирование выполняют по формуле:

, (i = 1, 2, …, n)

Количество всех точек факторного пространства при двухуровневой системе изменения факторов, в которых необходимо экспериментально находить значения функции отклика, равняется 2ⁿ, где n – число факторов.

Если при проведении опытов возможны ошибки измерения эндогенной величины y или она является случайной величиной и оценивается с помощью математического ожидания (что является характерным, например, для задач управления запасами), то за расчетное значение функции отклика в некоторой точке факторного пространства берут среднее значение этого показателя, полученное обработкой результатов установленного заранее числа дублирований эксперимента. Число повторений опыта определяется статистическими методами в зависимости от взятой надежности и точности ожидаемых результатов.

Для определения коэффициентов b уравнения регрессии экспериментально находят значения эндогенной величины y в N точках факторного пространства (при двухуровневой системе смены факторов N ≤ 2), причем попытки в каждой точке дублируются k раз.

В общем случае число повторений опытов (параллельных попыток) в точках факторного пространства может быть разным, тем не менее, в имитационных моделях экономических систем это число целесообразно считать единым для всех точек факторного пространства, в которых будет производиться эксперимент.

Задача определения коэффициентов регрессии типична для регрессионного анализа. Поэтому для корректного использования разработанного в этой теории инструментария необходимо, чтобы выполнялись рассмотренные далее условия:

1. Результаты наблюдений y₁, y₂, ..., y_n величины y в N точках факторного пространства представляют собой реализацию нормально распределенной случайной величины.

2. Дисперсии реализаций σ²{yi} (i = 1, 2, …, N) равны между собой, то есть дисперсия величины y не зависит от ее абсолютного значения.

3. Факторы Х₁, Х₂, ..., Х_n - независимые величины, измеряемые с настолько маленькой погрешностью, которой можно пренебречь в сравнении с погрешностью определения величины у.

В случае имитационного моделирования третье условие выполняется всегда, а первое и второе должны проверяться с помощью специальных тестов.