2. Вимоги до оформлення звіту

Звіт про лабораторну роботу повинен містити:

1) завдання із відповідним варіантом об’єкту та числових значень параметрів;

2) вивід математичної моделі об’єкту та аналітичних залежностей, які описують об’єкт у стані рівноваги;

3) визначення початкових умов за аналітичними залежностями, отриманими в п.1.2;

4) роздрук файлів: зовнішньої функції, яка описує нелінійне диференціальне рівняння математичної моделі для функції ODE23 чи ODE45 та script-файлу;

5. графік перехідного процесу для одного із значень вхідної величини;

6. графік залежності значень вихідної величини об’єкту у стані рівноваги від значень вхідної величини (статичну характеристику об’єкту);

7) висновки до лабораторної роботи.

У висновках до лабораторної роботи вказати:

• на які елементи поділений об’єкт при побудові його математичної моделі;

• на основі яких законів, теоретичних та емпіричних залежностей побудована модель;

• яким залежностями відображено зв’язок між елементами об’єкту та зовнішнім середовищем;

• проаналізувати вплив змін вхідних та керуючих величин на зміни параметрів стану системи;

• оцінити час перехідного процесу системи при переході до нового стану рівноваги для однієї із заданих стрибкоподібних змін вхідної величини.

3. Основні теоретичні відомості

Математичне моделювання – це метод дослідження, при якому реальному фізичному об’єктові ставлять у вiдповiднiсть його математичну модель і всі дослідження здійснюють не на об’єкті-оригіналі, а на його математичній моделі.

Математична модель об’єкту – це система математичних спiввiдношень (диференціальних, інтегральних, алгебраїчних рівнянь та нерівностей, емпіричних залежностей, логічних умов та інших) з вiдповiдними початковими та граничними умовами, що математично описує окремі фiзичнi та iншi явища об’єкту-оригіналу, а також взаємодію мiж цими явищами з врахуванням впливу зовнішнього середовища.

Математична модель об’єкту складається з математичних описів його окремих елементів, зв’язків мiж ними та їх взаємодії iз зовнiшнiм середовищем. Математичний опис кожного окремого елементу є його математичною моделлю.

Якщо в склад математичного опису хоча б одного елемента об’єкту входить нелінійне алгебраїчне, диференціальне, чи інше рівняння, то такий об’єкт є нелінійним.

Формально елементом вважається об’єкт, який в подальшому поділу на окремі частини не підлягає і є складовою частиною більш складного об’єкту. Суттєвими є тільки ті властивості окремого елементу, які визначають його взаємодію з іншими елементами об’єкту та зовнішнім середовищем.

Поділ об’єкту на окремі елементи залежить як від мети моделювання, так і від досвіду дослідника.

В основі побудови математичних моделей лежать закони збереження кількості речовини (маси), енергії (тепла) та імпульсу, а також фізичні, хімічні та інші закони та емпіричні залежності, що описують окремі елементи об’єкту, зв’язки між ними та зовнішнім середовищем.

Об’єкт моделювання можна розглядати як перетворювач дії зовнішнього середовища у вихiднi величини, що також діють на зовнішнє для об’єкту середовище. Сукупність параметрів взаємодії об’єкту з зовнiшнiм середовищем в загальному випадку ділять на наступні групи:

вхiднi величини (входи) – ;

керуючі величини (керування) – ;

збурюючi величини (збурення) – ;

вихiднi величини (виходи) – .

При математичному моделюванні цi параметри часом (по аналогії з електричним моделюванням) називають вiдповiдно вхідними, керуючими, збурюючими та вихiдними сигналами.

Вхідними величинами (входами) – називають параметри зовнішнього для об’єкту середовища, значення яких можуть бути вимiрянi, але можливість дії на них відсутня. Приймають також, що значення цих параметрів вiд режиму роботи об’єкту моделювання не залежать.

Керуючими величинами (керуваннями) – називають параметри зовнішнього для об’єкту середовища, якi вiд режиму роботи об’єкту не залежать, але які можна цілеспрямовано змінювати та керувати роботою об’єкту.

Збурюючими величинами (збуреннями) – називають тi параметри зовнішнього середовища, значення яких випадковим чином змінюються з часом, i які підчас роботи об’єкту не можуть нi вимiрянi, нi цілеспрямовано змiненi.

Вихідними величинами (виходами) – називаються параметри об’єкту, якими він діє на зовнішнє для нього середовище. Поняття вихідної величини тісно пов’язане з конкретним об’єктом зовнішнього середовища. Наприклад, для регулятора рівня вихідною величиною об’єкту – проточної гідравлічної ємності - є рівень рідини в ємності, а для споживача рідини, що витікає з об’єкту, - витрата рідини. Значення вихідних величин повністю визначаються сумарною дією вхідних, керуючих та збурюючих величин, станом та властивостями об’єкту.

Параметри стану об’єкту – це фізичні величини, значення яких визначаються властивостями об’єкту та дією вхідних, керуючих і збурюючих величин.

Наприклад, всі об’єкти, задані для моделювання в цій роботі мають один параметр стану – рівень в ємності.

Системою називають систему математичних співвідношень, яка може бути моделлю різних об’єктів, в тому числі різної фізичної природи. Поняття системи більш абстраговане від фізичної суті. Система може бути одержана шляхом декомпозиції (математичних перетворень) конкретної математичної моделі чи моделей до певного математичного вигляду. Як правило, це певний клас математичних співвідношень.

Якщо при незмінних значеннях вхідних, керуючих та збурюючих величин параметри стану системи також не змінюються, то кажуть, що система перебуває у стані рівноваги.

Вхідні величини, що діють на об’єкт, можуть змінюватися довільним чином. Однак для порівняння реакцій різних об’єктів, що знаходяться в стані рівноваги, на зміну вхідних при дослідженнях застосовують певні типові зміни вхідних величин. Одною із таких типових змін є стрибкоподібна зміна вхідної величини (стрибкоподібне збурення стану рівноваги). Якщо u(t) – вхідна величина, то стрибкоподібне збурення можна означити наступним чином:

,

д

t

е u₀ та u₁ – константи.

Рис.1. Графік стрибкоподібно змінюваної величини u(t)

Якщо для кожної довільної за величиною стрибкоподібної зміни вхідних величин об’єкт (система) через певний час (теоретично цей час дорівнює безмежності) досягає нового стану рівноваги, то його називають об’єктом із самовирівнюванням.

Нехай стрибкоподібно змінюється тільки одна вхідна величина чи керування. Кожному її значенню відповідає в стані рівноваги певне значення вихідної величини чи значення параметрів стану системи:

Залежність значень вихідної величини від значень стрибкоподібно змінюваної вхідної величини в стані рівноваги називають статичною характеристикою системи для даної конкретної вхідної та вихідної величин.

Отже, статичною характеристикою системи є функція

,

де u – вхідна величина системи;

– значення вихідної величини в стані рівноваги.

Процес зміни в часі параметрів стану та вихідних величин при переході від одного стану рівноваги до іншого називають перехідним процесом системи.

Нелінійні системи, як правило, можуть бути досліджені лише числовими методами.

Математична модель протічної гідравлічної ємності може бути побудована аналітичним методом при використанні закону збереження маси та теоретичних залежностей, що описують рух рідини в трубопроводах. У залежності від умов протікання рідини, в трубопроводах може встановитися турбулентний або ламінарний режим течії. Для математичного опису трубопроводів з турбулентним режимом течії використаємо ідеалізоване рівняння Дарсі-Вейсбаха:

(3.1)

а для трубопроводів з ламінарною течією рідини – ідеалізоване рівняння Пуазейля:

. (3.2)

Витрату рідини в трубопроводі, на якому встановлено вентиль або регулюючий орган, визначають за емпіричною залежністю

. (3.3)

У наведених виразах прийнято такі позначення:

– різниця тисків на початку та в кінці трубопроводу, Па; ρ – густина рідини, кг/м³;

Q – об’ємна витрата рідини, м³/c; d, r, L – відповідно діаметр, радіус і довжина трубопроводу, м; – коефіцієнт опору рухові рідини в трубопроводі;  – коефіцієнт кінематичної в’язкості, м²/c; k_В – пропускна здатність регулюючого органу, м²; l – ступінь відкриття регулюючого органу, l[0;1].

Використання цих рівнянь, а також закону збереження маси для побудови математичної моделі проточної гідравлічної ємності показано в прикладі виконання лабораторної роботи.