2. Второй этап. Этап уточнения корня

Iteration (итерация)- повторение, ре-зультат повторного применения какой-либо математической операции.

Этап уточнения корня заключается в построении последовательности приближенных значений (итераций) корня уравнения (2.1), исходя из начального приближения корня x₀ (нулевой итерации).

Эта последовательность

x₀ , x₁, x₂,……x_n…. (2.4)

называется итерационной последовательностью.

Если существует предел этой последовательности, т.е.

, (2.5)

то говорят, что итерационный процесс (2.4) сходится и сходится к точному решению уравнения x^* [2].

На практике итерационный процесс ограничивают конечным числом шагов (итераций) n. Количество итераций зависит от требуемой точности нахождения корня.

Для прекращения итерационного процесса применяются различные критерии, зависящие от вида функции y=f(x) в окрестности корня.

1. Если функция достаточно «пологая», то итерационный процесс продолжается до тех пор, пока две соседние итерации не станут достаточно близкими, т.е. пока не выполнится условие:

(2.6)

2. Если функция у=f(x) «круто» меняет свои значения, целесообразно использовать условие:

(2.7)

Если условие (2.6) или (2.7) выполняется, то в качестве приближенного решения уравнения (2.1) с заданной точностью  принимают n-ю итерацию т.е.

.

Если ни одно из этих условий не выполняется, то итерационный процесс необходимо продолжить.

Рассмотрим несколько итерационных (приближенных) методов решения нелинейных уравнений. Выбор того или иного метода зависит от вида функции y = f(x).

1. Метод половинного деления (бисекции)

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет условиям теоремы 2.1 на отрезке [a,b], т.е. уравнение (2.1) имеет единственный корень на этом отрезке.

Метод половинного деления (бисекции) это один из простейших методов решения нелинейных уравнений. Приводим алгоритм и геометрическую интерпретацию (рис.2.5) этого метода.

Алгоритм метода бисекции.

1. Делим отрезок [a, b] пополам.

2. Если , то является корнем уравнения (2.1).

3. Если , то из двух отрезков выбираем тот, на концах которого функция f(x) имеет разные знаки.

Рис. 2.5. Схема метода бисекции

4. Новый «суженный» отрезок [a₁, b₁] снова делим пополам и проводим тот же анализ и т.д.

5. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения (2.1), или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков,

[a₁, b₁], [a₂, b₂], …………………[a_n, b_n]

таких, что f(a_i,) f(b_i)<0, (i=1,2,…..) (2.8)

и (2.9)

Левые концы a₁, a₂, ..., a_n,… и правые концы b₁, b₂, ..., b_n,… этих отрезков образуют монотонные последовательности, соответственно неубывающую и невозрастающую.

Доказывается утверждение, что существует общий пре-дел x*, который является корнем уравнения (2.1).

(2.10)

Метод половинного деления легко реализуется на ЭВМ по следующей схеме.

Для нахождения приближенного значения корня уравнения (2.1) с заданной точностью  необходимо циклически повторить следующую последовательность действий:

1. отрезок [a, b] делим пополам ,

2. если │f(x)│ > ε, переходим на пункт 3, иначе – на пункт 5,

3. если f(x)*f(b) ≤ 0, то принимаем a = x, иначе b = х. Т.е. из двух отрезков выбираем тот, на концах которого функция имеет разные знаки, и новый «суженный» отрезок вновь называем отрезком [a, b],

4. если │a-b│>ε, то выполняется пункт 1 , иначе – пункт 5.

5. в качестве приближенного решения уравнения (2.1) с заданной точностью ε принимается .

• Замечание. Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня заданного уравнения, поскольку при увеличении точности объем вычислительной работы значительно возрастает.