6. Задача о назначениях (проблема выбора)

Постановка задачи. В распоряжении имеется n механизмов (бригад) и n различных видов работ. Производительность каждого механизма на различных работах, вообще говоря, различна. Обозначим через cij (i,j=1,2,..,n) производительность i-го механизма на j-й работе. Матрица C=[cij] называется матрицей эффективностей или производительностей. Требуется так распределить n механизмов на n работах, чтобы каждый механизм выполнял одну и только одну работу и чтобы при заданной производительности каждого механизма на каждой из работ суммарный эффект был бы максимальным.

Эта задача является частным случаем транспортной задачи

Обозначим через x_ij переменную, равную единице, если i-й механизм назначен на j-ю работу, и равен нулю, если он на эту работу не назначен. В качестве целевой функции выбираем суммарную производительность всех механизмов

Ограничения записываем из условия, что каждый механизм выполняет одну работу и что каждая работа обеспечивается одним механизмом:

• Пример 6.9. Задача о назначениях.

Имеются три бригады В₁, В₂, В₃, каждая из которых может быть использована на каждой из 3-х строительной площадке с производительностью (в условных единицах), заданной в таблице.

Таблица.

Строител. площадка	Производительность бригад (у.е.)
	В1	В2	В3
1	1	2	3
2	2	4	1
3	3	1	5

Требуется распределить бригады по одной на каждую строительную площадку так, чтобы суммарная производительность всех бригад была максимальной.

Обозначим x_ij=1, если на i-ю стройплощадку назначена j-я бригада, и x_ij=0, если она на эту стройплощадку не назначена.

В качестве функции цели возьмем суммарную производительность всех бригад:

Z_max =x₁₁ +2x₁₂ +3х₁₃+2x₂₁ +4x₂₂ +x₂₃+3x₃₁ +x₃₂.+5x₃₃.

Систему ограничений запишите из условий, что каждая бригада выполняет работу на одной определенной стройплощадке и что каждая площадка обеспечена одной бригадой рабочих.

6.5. Решение задач оптимизации с помощью ms Excel

Решение задач оптимизации в Microsoft Excel производится с помощью надстройки «Поиск решения».

При поиске оптимального решения задачи можно изменять условия и варианты поиска решения, используя диалоговое окно «Параметры поиска решения». Пользователь при этом может сам выбрать алгоритм оптимизации.

При этом принципы построения схемы задачи в таблице Excel и ее решения практически совпадают как для линейного, так и для нелинейного программирования.

Рассмотрим процесс решения задач оптимизации на прмерах двух задач: задачи планирования производства, и транспортной задачи, используя возможности таблиц Excel.

6.5.1. Решение задачи планирования производства

Рассмотрим задачу, приведенную в примере 6.2.

Математическая модель этой задачи, как описано выше имеет вид:

при ограничениях

Последовательность действий:

1. Подготовим таблицу как показано на рис.6.15. Ячейки, содержащие целевую функцию (А10) и изменяемые ячейки (проектные параметры x₁, x₂) В10:С10 тонируем. Для контроля счета в ячейки В10:С10 введем единицы. Значения проектных параметров х₁=1 и х₂=1 можно рассматривать как начальное приближение решения задачи.

2. Систему ограничений (6.12) запишем в виде, как показано на рис.6.15, т.е.:

a_i x₁ + b_i x₂ - d_i ≥ 0 , i=1, 2, 3, 4, 5.

Обратите внимание на то, что знаки неравенств одинаковы для всех строк системы ограничений. В рациональности этого вы убедитесь ниже.

3. В ячейки В3:D7 введем коэффициенты системы ограничений.

Рис.6.15. Расчетная схема для примера 6.2

4. В ячейку E3 введем формулу для вычисления левой части 1-го ограничения, т.е.

E3=СУММПРОИЗВ($B$10:$C$10;B3:C3)+D3,

и после ввода скопируем ее вниз до конца таблицы. Будет не лишним проверить результаты счета для заданных значений х₁=1 и х₂=1.

5. Формулу для целевой функции запишем в ячейке A10:

A10=1-В10-С10.

6. Выберем команду меню Данные\Поиск решения и в появившемся окне сделаем соответствующие установки (рис.6.16). Ограничения устанавливаются с помощью кнопки Добавить, которая вызывает окно Добавление ограничения для ввода этих ограничений (см. рис. 6.16).

Рис.6.16. Окно «Поиск решения»

7. После щелчка на кнопке Выполнить, при условии, что введено все верно, результат решения будет иметь вид, как показано на рис.6.17.

Рис.6.17. Результаты решения примера 6.2

Результаты можно сохранить или отказаться от них (восстановив исходные значения). Можно получить один из видов отчетов (Результаты, Устойчивость, Пределы). Отчет можно оформить на отдельном листе Книги с соответствующим именем.